专题1-2任意角的正弦、余弦、正切、余切（考点清单，7种题型典例剖析+考点练兵）（解析版）_1_1.docx

专题1-2任意角的正弦、余弦、正切、余切（考点清单，7种题型典例剖析+考点练兵）

知识点1、任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0)．

三角比值

定义

定义域

正弦

sinα＝eq\f(y,r)

R

余弦

cosα＝eq\f(x,r)

R

正切

tanα＝eq\f(y,x)

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))

余切

cot=

知识点2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号

任意角正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1、图示：

2、口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；

知识点3、单位圆与初步应用

1、单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆；

2、单位圆中任意角的三角比值的定义

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，

点P的纵坐标y叫做α的正弦比值，记作sinα，即sinα＝y；

点P的横坐标x叫做α的余弦比值，记作cosα，即cosα＝x；

把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

知识点4、同角三角比值间关系

1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

2、商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；

3、倒数关系：tanαcotα=1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，α≠kπ，k∈Z))

【说明】1、注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立；

2、sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．

3、注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)仅对α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．

4、同角三角比的变形公式

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).

sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).

题型一：定义法求三角比

1．（2024下·上海·高一假期作业）求的正弦、余弦和正切值．

【答案】，，

【分析】求得终边与单位圆的交点坐标，根据三角函数的定义可直接求得.

【详解】如图，在中，

，

，

，进而

故答案为：，，.

2．（2020下·高一课时练习）（1）已知角的终边经过点，求的值；

（2）已知角的终边经过点，求的值.

【答案】（1）（2）当时，；当时，

【分析】由于角终边上的点的坐标已经给定，只须用三角比的定义来求得.

【详解】解（1）由已知条件，得，

∴.

（2）当时，，则，故；

当时，，则，故.

【点晴】本题考查利用定义法求三角函数值的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

题型二：判断三角比的符号

1．根据下列条件确定角的终边所在象限.

（1）且；

（2）.

【答案】（1）第三象限；（2）第一象限或第二象限.

【分析】（1）根据三角函数符号规律确定象限；

（2）先解不等式，再根据符号确定象限.

【详解】（1）由可知的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上，

由可知的终边在第一象限或第三象限，

所以角的终边在第三象限.

（2）由题意，得或，

所以角的终边在第一象限或第二象限.

【点睛】本题考查三角函数符号规律，考查基本分析判断能力，属基础题.

2．若角的终边上有一点，且.

（1）判断实数符号，并说明理由；

（2）求的值.

【答案】（1），见解析；（2）.

【分析】（1）由可得是第二象限，