专题2.6 圆的方程【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）_1_1.docx

专题2.6圆的方程【七大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1求圆的标准方程】 1

【题型2求圆的一般方程】 2

【题型3二元二次方程表示圆的条件】 3

【题型4圆过定点问题】 3

【题型5点与圆的位置关系】 4

【题型6圆有关的轨迹问题】 5

【题型7与圆有关的对称问题】 6

【知识点1圆的方程】

1．圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2．圆的标准方程

(1)圆的标准方程：方程(r0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.

(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3．圆的一般方程

(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线

方程，求待定系数D，E，F.

【题型1求圆的标准方程】

【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（????）

A．x2+y

C．x2+y

【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1

A．x-22

C．x-12

【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,-1，B-1,1，且圆心在直线x

A．x-12

C．x-32

【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(-2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（

A．x2+y

C．x2+y

【题型2求圆的一般方程】

【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,-3)三点，则圆C

A．x2+y

C．x2+y

【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2-

A．x2+y

C．x2+y

【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2

A．x2+y

C．x2+y

【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,

A．x2+y

C．x2+y

【知识点2二元二次方程与圆的方程】

1．二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程

，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

二元二次方程表示圆的条件是

【题型3二元二次方程表示圆的条件】

【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知x2+y2+2

A．6，+∞ B．-6,+∞ C

【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“a1”是“方程2x2+2y

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程y+1=-x

A．圆x-22+

C．圆x+22+y

【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程x2+y2+4

A．14m1 B．m14或

【题型4圆过定点问题】

【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，O为坐标原点．则以OA

A．10,0 B．0,10 C．2,4 D．4,2

【变式4-1】（2022·高二课时练习）点Px,y是直线2x+y-

A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1

【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数m，圆x2+y

【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数f(x)=x2+2x+b(

【知识点3点与圆的位置关系】

1．点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为

.平面内一点.

位置关系

判断方法

几何法

代数法(标准方程)

代数法(一般方