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最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考--第1页

最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压

轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基

本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点

轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终

为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置

和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3)确定动点轨迹的方法(重点)

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②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已

知轨迹的线段求最值。

1(2022湖南湘西·统考中考真题·)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过

点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC=8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值是()

A.24B.22C.20D.18

2(2023黑龙江绥化·统考中考真题·)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连

接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．

3(2023河南洛阳·统考一模·)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠B=60°，点E在线段BC

上运动(含B、C两点)．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段

DF长度的最小值为．

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4(2022·山东泰安统考·二模)如图，矩形ABCD的边AB=,BC=3，E为AB上一点，且AE=1，F为