线性微分方程解的结构.ppt

(非齐次方程之解的叠加原理)第31页,共48页，星期六，2024年，5月第32页,共48页，星期六，2024年，5月下面介绍如何求方程（2）的特解？的通解，则是方程(2)的通解。第33页,共48页，星期六，2024年，5月1、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④第34页,共48页，星期六，2024年，5月⑤令于是将以上结果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解第35页,共48页，星期六，2024年，5月积分得:代入③即得非齐次方程的通解:于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.方程③第36页,共48页，星期六，2024年，5月情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:③第37页,共48页，星期六，2024年，5月常数变易法则有这是以下推导的前提。1、常数变易法第38页,共48页，星期六，2024年，5月于是对上式两边关于x求导，得这两部分为零。即第39页,共48页，星期六，2024年，5月联立(3)、(4)构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到在这一节中所讲述的理论均可推广到n阶线性微分方程中去。第40页,共48页，星期六，2024年，5月解：该方程所对应的齐方程为它就是前面刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组第41页,共48页，星期六，2024年，5月两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得故原方程有一特解从而原方程的通解为：第42页,共48页，星期六，2024年，5月解：先将方程变形为第43页,共48页，星期六，2024年，5月所以，对应的齐次的通解为设原方程的解为由常数变易法知，应有解之得所以原方程的通解为第44页,共48页，星期六，2024年，5月例3.的通解为的通解.解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组:故所求通解为⑤⑥积分得第45页,共48页，星期六，2024年，5月例4.的通解.解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:代入非齐次方程后化简得第46页,共48页，星期六，2024年，5月练习题四、小结主要内容2、二阶线性微分方程解的结构定理1、函数的线性相关与线性无关；第47页,共48页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第48页,共48页，星期六，2024年，5月********关于线性微分方程解的结构高阶线性微分方程的一般理论n阶线性方程的一般形式为第2页,共48页，星期六，2024年，5月二阶线性微分方程的一般形式为通常称第二式为第一式的相对应的齐方程。注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至n阶线性方程中。复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y这种解法叫常数变易法。第3页,共48页，星期六，2024年，5月1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理:则它们的线性组合第4页,共48页，星期六，2024年，5月的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。问题:例：设y1为(1)的解,则y2=2y1是方程(1)的解,但y=C1y1+C2y2不为方程(1)的通解.第5页,共48页，星期六，2024年，5月又如.对于二阶常系数线性齐次微分方程容易验证:但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解.由定理知都是它的解.也是它的解.在什么情况下，叠加所得可以成为方程(1)的通解？为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.第6页,共48页，星期六，2024年，5月(2)线性无关、线性相关定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.若存在不全为0的常数第7页,共48页，星期六，2024年，5月在区间I上线性相关存在不全为0的线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关两个函数在区间I上线性相