《高等数学Ⅱ》 试卷2答案.docx

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20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试

试卷·参考答案

单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

A

D

B

D

B

D

C

B

题号

11

12

13

14

15

答案

D

C

C

C

B

判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

16、×17、√18、×19、×20、√

21、√22、√23、×24、×25、×

三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）

26、27、28、029、30、0

四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）

31、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）

解：点对应的参数…………….（1分）

则在该点处切线的切向量

…………….（1分）

所以在点处的切线方程为

………….（2分）

法平面方程为…………….（2分）

31、求函数的全微分.（6分）

解：因为，………….（2分）

………….（2分）

所以

………….（2分）

32、求微分方程的通解.（6分）

解：方程为一阶线性非齐次微分方程

由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：

……….（3分）

………….（3分）

33、求幂级数的和函数.

解：设和函数为

两边由0到积分，得

…………（4分）

两边对求导，即得

.………………（2分）

34、求函数的极值.

解解方程组

得驻点为……………………（3分）

再求出二阶偏导数

在点处,又,所以函数在处有极小值

在点处,所以不是极值．……（3分）

35、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）

视为是型区域：

…….（2分）

则有

…………….（2分）

五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）

36、设函数?f(x)?在闭区间?[a,b]?上连续，在开区间?(a,b)?上可导，且?f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个?c∈(a,b)，使得?f′(c)?=?f(c)b?c?

证明：

令?F(x)=(x?b)f(x)，则?F(x)?在?[a,b]?上连续，在?(a,b)?上可导。………….（2分）

利用乘法法则，我们有F′(x)=(x?b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）

由于?F(a)=(a?b)f(a)=0?和?F(b)=(b?b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个?c∈(a,b)，使得?F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）

由?F′(c)=0，我们得到

(c?b)f′(c)+f(c)=0。…….…….………….（2分）

将上式整理，得到

f′(c)=?c?bf(c)?。…………….…….………….（1分）

由于?c=b（因为?c∈(a,b)），我们可以进一步写为

f′(c)=?b?cf(c)?。

因此，我们证明了存在至少一个?c∈(a,b)，使得?f′(c)?=?f(c)b?c?。…….（1