2024届北京市朝阳区力迈国际学校高三下学期第一次五校联考数学试题试卷.docVIP

2024届北京市朝阳区力迈国际学校高三下学期第一次五校联考数学试题试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列中，若，则（）

A．8 B．12 C．14 D．10

2．的展开式中的系数为（）

A．5 B．10 C．20 D．30

3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A． B． C． D．

4．复数为纯虚数，则()

A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i

5．若直线经过抛物线的焦点，则（）

A． B． C．2 D．

6．已知集合，，若，则（）

A． B． C． D．

7．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（）

A． B． C． D．1

8．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

9．已知函数，，且，则（）

A．3 B．3或7 C．5 D．5或8

10．已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）

A．-1 B．1 C．0 D．2

11．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于()

A． B． C． D．

12．的展开式中的系数是-10，则实数()

A．2 B．1 C．-1 D．-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．

14．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，,则异面直线与所成的角为____.

15．双曲线的离心率为_________．

16．已知，且，则__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．

19．（12分）已知函数．

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)若,且,求证：．

20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)把的参数方程化为极坐标方程：

(2)求与交点的极坐标.

21．（12分）已知函数是减函数.

（1）试确定a的值；

（2）已知数列，求证：.

22．（10分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次数为．

（1）求的分布列及其期望；

（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.

【详解】

设等差数列的首项为，公差为，

则由，，得解得，，

所以．故选C．

【点睛】

本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.

2、C

【解析】

由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成.

【详解】

由已知，，因为展开式的通项为，所以

展开式中的系数为.

故选：C.

【点睛】

本题考查求二项式定理展开式