湘教版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 圆锥曲线与方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 (2).docVIP

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3.3.2抛物线的简单几何性质

A级必备知识基础练

1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是()

A.y2=8x或x2=8y

B.y2=-8x或x2=-8y

C.y2=8x或y2=-8x

D.x2=8y或x2=-8y

2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+|BF|的值()

A.等于8

B.等于7

C.等于5

D.随A,B两点坐标变化而变化

3.抛物线C:y2=2px(p0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为()

A.y2=4x B.y2=8x

C.y2=12x D.y2=16x

4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2

A.2 B.3 C.4 D.0

5.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则()

A.曲线C的标准方程为x2=4y

B.曲线C关于y轴对称

C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2

D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥2

6.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽42米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为;水面下降1米后,水面宽米.?

图1

图2

7.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为.?

8.已知抛物线C:y2=2p,2).

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.

B级关键能力提升练

9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是()

A.32 B.43 C.

10.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为()

A.y2=32x B.y2=3x

C.y2=92x D.y2=9是抛物线y2

A.2 B.433 C.2

12.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()

A.C的准线方程为的坐标可能是(3,2)

D.存在直线l,使得OA与OB垂直

13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是.?

14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若AP=3PB,求|AB|.

C级学科素养创新练

15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.

(1)求E的标准方程;

(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB.

3.3.2抛物线的简单几何性质

1.C当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;

当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.

所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.

2.A设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.

3.B抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1-(-p2)=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y

4.B因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.

因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2

5.AB由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.

6.x2=-4y43设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),由已知抛物线经过点(22,-2),

可得8=-2p×(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.

当y=-3时,x2=12,解得x=±23,

所以当水面下降1米后,水面宽43米.

7.y2=42x由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px