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中考复习构造基本图形45度角解题练习北师大版2023—2024学年九年级下册
(一)正方形中的半角模型
例1.如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°的前提下,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在BC、CD上移动时,求证:BE+DF=EF.
变式1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E,F分别在边AD,CD上,若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于()
A.2 B.3 C.4 D.4
变式2.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=FM;
(2)当AE=1时,求EF的长.
变式3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,点E,F分别在BC,CD上.若BE=3,∠EAF=45°,则DF的长是.
(二)平面直角坐标系下的45度角(一题多解)
例2.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+m(m≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0).设点P为线段OB的中点,连接PA,PC,若∠CPA=45°,则m的值是.
例3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是.
变式4.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和正实数k,给出如下定义:当ka2+b>0时,以点P为圆心,ka2+b为半径的圆,称为点P的“k倍雅圆”
例如,在图1中,点P(1,1)的“1倍雅圆”是以点P为圆心,2为半径的圆.
(1)在点P1(3,1),P2(1,﹣2)中,存在“1倍雅圆”的点是.该点的“1倍雅圆”的半径为.
(2)如图2,点M是y轴正半轴上的一个动点,点N在第一象限内,且满足∠MON=30°,试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系,并证明;
(3)如图3,已知点A(0,3),B(﹣1,0),将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l.
①当点C在直线l上运动时,若始终存在点C的“k倍雅圆”,求k的取值范围;
②点D是直线AB上一点,点D的“倍雅圆”的半径为R,是否存在以点D为圆心,为半径的圆与直线l有且只有1个交点,若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(三)反比例函数下的45度角问题
例4.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=的图象上,作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为.
变式5.如图1,在平面直角坐标系xOy中,函数(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点.
(1)求∠OCD的度数;
(2)如图2,连接OQ、OP,当∠DOQ=∠OCD-∠POC时,求此时m的值;
、
变式6.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(四)二函数下的45度角问题
例5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
变式7.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,若点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
变式8.如图,抛物线过点A(3,2),且与直线交于B、C两点,点B的坐标为(4,m).
(1)求抛物线的解析式;
(3)设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使∠AQM=45°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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