数学同步优化训练：平面向量基本定理.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。3平面向量的基本定理及坐标表示

2。3.1平面向量基本定理

5分钟训练（预习类训练，可用于课前)

1。已知AM是△ABC的BC边上的中线，若=a,=b,则等于()

A.（a—b)B。(b-a)C.（a+b）D。(a+b）

答案：C

2。如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么（)

A。若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0

B。空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，这里λ1、λ2是实数

C.对实数λ1、λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内

D。对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对

解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式,而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的。

答案:A

3。如图2—3—1，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点,且=a，=

①=a—b；②=a+b；③=a+b;④=0。

其中正确命题的序号为_______________________。

图2-3-1

解析：如图所示，=—b+=—ba,

=a+b，=-b—a,

+=b+（—b-a)=ba,

=—ba+a+b+ba=0.

所以应填①②③④。

答案：①②③④

4.如图2-3-2，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、、和。

图2

解：在ABCD中，

∵=a+b,=a-b,

∴=—AC=-(a+b）=—a-b，

==（a-b)=a—b,

==a+b，=—a+b。

10分钟训练(强化类训练，可用于课中）

1。向量，，的终点A，B,C在一条直线上，且=-3.设=p,=q，=r，则下列等式成立的是(）

A.r=p+qB.r=—p+2q

C.r=pqD.r=—q+2p

解析：由，得,

即.∴=+，即r=p+q.

答案：A

2.设一直线上三点A,B,P满足=λ（λ≠1），O是空间一点,则用，表示为（）

A。=+λB.=λ+(1-λ)

C。=D.=+

解析:由=λ（λ≠1），得=λ(）,即=。

答案:C

3.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上（不包括端点A，C)，则等于（）

A。λ（），λ∈（0，1)B。λ（)，λ∈(0,）

C.λ（)，λ∈(0,1)D。λ（),λ∈（0,）

解析：∵点P在对角线AC上，∴与共线。

又,

∴=λ(）.当P与A重合时，λ=0;当P与C重合时，λ=1。

答案：A

4。（2006高考安徽卷，理14）在ABCD中，=a，=b，,M为BC的中点，则=_________________（用a、b表示).

解析：=+=+（)

=b+[—b+(-a）］=（b-a)。

答案:(b—a）

5。如图2-3—3所示,四边形ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点,=e1,=e2,以e1、e2为基底，表示向量、、及.

图2

解:∵=e1,=e2,∴=e2—e1。

依题意有：AD=2AB=DE,且F为ED中点,

∴四边形ABDF为平行四边形.

∴=e2-e1，=e2.

∴=e2-e1+e2=2e2-e1。

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后）

1。在△ABC中，设=m,=n，D、E是边BC上的三等分点,则=_______________，

=_____________________.

解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,BE=，转化为已知向量即可。

答案:m+nm+n

2。平面直角坐标系中，O为坐标原点,已知两点A(3，1），B(-1,3）,若点C满足=α+β，其中，α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为________________________________.

解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.

答案：x+2y-5=0

3。如图2—3—4所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c,=d，试用c,d表示和.

图2-3-4

解:设=a,=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得

=b，=a.

从△ABN和△ADM中可得解之,得

即=（2d-c)，=(2c—d）.

4.如图2—3—

图2-3-5

证明：M为AB中点，MH∥AF，则=x.

设=a,=b，=+x,=a+2x.