数学同步优化训练：向量数乘运算及其几何意义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.2.3向量数乘运算及其几何意义

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1。点C在线段AB上，且=，则=_______________。（）

A。B。C.D。

解析：=（)=+=-，

即=-,故=-.

答案:D

2.[(2a+8b)-（4a-2b)］等于(）

A。2a—bB。2b-aC。b-aD。a—

解析：原式=（a+4b—4a+2b)=（6b—3a）=2b—a.

答案：B

3.向量a、b共线的有()

①a=2e,b=-2e②a=e1—e2，b=—2e1+2e2③a=4e1—e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1—2e2

A.①②③B。②③④C.①③④D。①②③④

解析:对于①②③中的向量a与b，都存在一个相应的实数λ,使a=λb，而④中的两个向量，不存在实数λ使b=λa成立。

答案：A

4。(2006高考广东卷，理4)如图2—2-

图2

A。—+B。—

C.D.+

解析：+，故选A.

答案：A

10分钟训练（强化类训练，可用于课中)

1。(2005高考山东卷，文8）已知向量a，b，且=a+2b，=—5a+6b，=7a—2b，则共线的三点是（)

A.A、B、DB.A、B、CC。B、C、DD。A、C、D

解析：∵，∴.

∴.∴A，B,D三点共线.

答案：A

2。下列四个命题：

①对于实数m和向量a、b，恒有m（a-b)=ma—mb；②对于实数m,n和向量a，恒有(m-n)a=ma—na；③若ma=mb（m∈R)，则有a=b;④若ma=na(m、n∈R，a≠0），则m=n。

其中正确命题的序号为_________________.

解析:①②满足实数与向量积的运算律；③中若m=0，则ma=mb=0，不一定有a=b；④中由ma=na，则（m—n)a=0，∵a≠0,∴m—n=0。

∴m=n。

答案：①②④

3.求实数λ,使得λa+b与2a+λb

解：∵λa+b与2a+λb

∴存在一个实数,不妨设为m，使得（λa+b)=m(2a+λb),即（λ-2m)aV+（1-mλ）b=0

∴解得λ=±。

4。在平行四边形ABCD中,=a，=b，求,。

解法一:利用平行四边形的性质得

==a，=BD=b。

∵,

∴=ab.

又∵,=，

∴=a+b.

解法二:将，视为未知量，由向量的加法、减法，得

两式相加得，

∴=+=a+b。

两式相减得，

∴==ab.

5。一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度.

解：如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度,表示船的实际速度，∠AOC=30°,｜｜=5km/h，

∵四边形ABCD为矩形，

∴｜|=｜｜cot30°=，||===10.

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.若3x-2(x—a）=0，则x等于（）

A.2aB。—2aC。D。

解析：∵3x-2(x-a)=0，

∴x+2a=0,

即x=—2a。

答案：B

2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()

A.a与-λa的方向相反B。｜-λa|≥｜a｜

C。a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|

解析：如果λ＞0则a与—λa的方向相反，如果λ＜0，则a与—λa的方向相同，A错；如果｜λ｜＜1,则｜—λa｜＜｜a｜，B错；｜—λa｜是一个大于或等于零的实数，而｜λ｜a是向量，它们之间不能比较大小,D错.

答案:C

3。若｜a|=m，b与a的方向相反，且|b|=2,则a=_____________。

解析：由，∴｜a|=｜b｜。

∵b与a方向相反，∴b与a共线.

∴a=。

答案:

4。如图2—2—16，

求证：M、N、C三点共线.

图2-2-16

证明：设=a，=b，则=a+（-a+b）=a+b，

=a+b，所以.

所以M、N、C三点共线.

5.设e1、e2是两个不共线向量，已知=2e1+me2，=e1+3e2.若A、B、C三点共线,求实数m的值.

解：∵A、B、C三点共线，

∴、共线存在实数λ，使=λ,

即2e1+me2=λ（e1+3e2）=λe1+3λe2，解得

∴λ=2,m=6。

6.如图2-2—17