3.2.2奇偶性7题型分类（讲+练）（教师版） 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.pdf

3.2.2奇偶性9题型分类

一、偶函数、奇函数的定义

(1)偶函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)

就叫做偶函数．

(2)奇函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数

f(x)就叫做奇函数．

二、偶函数、奇函数的图象特征

(1)偶函数的图象特征

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果

一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

(2)奇函数的图象特征

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反

之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数.

三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点

(1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定

义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．

f-x

(2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔=-1(f(x)≠0)；

fx

f-x

②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔=1(f(x)≠0)．

fx

四、函数奇偶性的四个关注点

(1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质．

(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函

数．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于

原点对称的非空集合．

(4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．

五、奇、偶函数的单调性

根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论：

(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有

相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．

(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；

奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性

函数奇偶性

当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是

一次函数y＝kx＋b(k≠0)

偶函数

a

反比例函数y＝(a≠0)奇函数

x

当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是

2

二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)

偶函数

（一）

函数奇偶性的判断

判断函数奇偶性的三种常用方法

(1)定义法

①确定函数的定义域；

②看定义域是否关于原点对称．

(ⅰ)不对称，则函