3.2.1单调性与最大(小)值12题型分类(讲+练)(学生版) 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义(人教A版2019必修第一册).pdf

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3.2.1单调性与最大(小)值12题型分类

一、函数的单调性及其符号表达

(1)函数单调性的概念

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性.

(2)函数单调性的符号表达

一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:

如果∀x,x∈D,当xx时,都有f(x)f(x),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

121212

如果∀x,x∈D,当xx时,都有f(x)f(x),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.

121212

二、增函数、减函数

当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.

当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.

三、单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调

性,区间D叫y=f(x)的单调区间.

1.单调性是函数的局部性质,但在其单调区间上是整体性质,因此对x,x有下列要求:

12

(1)属于同一个区间D;

(2)任意性,即x,x是定义域中某一区间D上的任意两个值,不能用特殊值代替;

12

(3)有大小,即确定的任意两值x,x必须区分大小,一般令xx.

1212

,是偶数,

1x

2.并非所有的函数都具有单调性.如f(x)={,是奇数,它的定义域为Z,但不具有单调性.

0x

3.单调区间

(1)这个区间可以是整个定义域.如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上单调递增,y=-x在整个定义域

(-∞,+∞)上单调递减;

(2)这个区间也可以是定义域的真子集.如y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但在(-∞,0]上

单调递减,在[0,+∞)上单调递增.

1

4.函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数y=(x≠0)

x

在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性.

5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函

11

数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,不能认为y=(x≠0)的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,

xx

+∞).

6.函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定

的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包

括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括这些点.

四、函数的最大值与最小值

最大值

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