3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类（讲+练）（教师版） 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.pdf

3.2.1单调性与最大（小）值12题型分类

一、函数的单调性及其符号表达

(1)函数单调性的概念

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．

(2)函数单调性的符号表达

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：

如果∀x，x∈D，当xx时，都有f(x)f(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

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如果∀x，x∈D，当xx时，都有f(x)f(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.

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二、增函数、减函数

当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．

当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．

三、单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调

性，区间D叫y＝f(x)的单调区间．

1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x，x有下列要求：

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(1)属于同一个区间D；

(2)任意性，即x，x是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；

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(3)有大小，即确定的任意两值x，x必须区分大小，一般令xx.

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，是偶数，

1x

2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝{，是奇数，它的定义域为Z，但不具有单调性．

0x

3．单调区间

(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域

(－∞，＋∞)上单调递减；

(2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上

单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1

4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)

x

在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．

5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函

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数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，

xx

＋∞)．

6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定

的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包

括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．

四、函数的最大值与最小值

最大值