4.3对数7题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.pdf

4.3对数7题型分类

一、对数的概念

x

(1)对数的概念：一般地，如果a＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记

作x＝logN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

a

(2)两种特殊的对数

①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把logN记为lgN；

10

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logN记为lnN(其中e＝2.71828…)．

e

二、对数与指数的关系

(1)对数的基本性质

①负数和0没有对数，即真数N0；

②1的对数为0，即log1＝0(a0，且a≠1)；

a

③底数的对数等于1，即loga＝1(a0，且a≠1)．

a

(2)两个重要的对数恒等式

①alogaN＝N(a0，且a≠1，N0)；

②logaN＝N(a0，且a≠1)．

a

在对数的概念中规定a0且a≠1的原因

(1)若a0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．

(2)若a＝0，

①当N≠0时，x的值不存在．如：log3(可理解为0的多少次幂是3)不存在；

0

②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log0有无数个值．

0

(3)若a＝1，

①当N≠1时，x的值不存在．如：log3不存在；

1

②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log1有无数个值．

1

因此规定a0，且a≠1.

三、对数运算性质

如果a0，且a≠1，M0，N0，那么

(1)log(MN)＝logM＋logN；

aaa

M

(2)log＝logM－logN；

aaa

N

(3)logMn＝nlogM(n∈R)．

aa

四、换底公式

logb

(1)对数的换底公式：logb＝c(a0，且a≠1；b0；c0，且c≠1).

a

loga

c

(2)三个较为常用的推论

①logb·logc·loga＝1(a0，b0，c0，且均不为1)；

abc

1

②logb＝(a0，b0，且均不为1)