4.2指数函数16题型分类（讲+练）（教师版） 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.pdf

4.2指数函数16题型分类

一、指数函数的定义

x

一般地，函数y＝a(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

注意：指数函数中规定a0，且a≠1的原因：

xx

(1)如a＝0，当x0时，a恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，a无意义．

11

x

(2)如a0，例如f(x)＝(－4)，这时对于x＝，，…，该函数无意义．

24

x

(3)如a＝1，则y＝1是一个常量，没有研究的价值．

为了避免上述各种情况，所以规定a0，且a≠1.

二、指数增长模型

在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次

xx

增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)(x∈N).形如y＝ka(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数

是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．

三、指数函数的图象和性质

a10a1

图象

定义域R

值域(0，＋∞)

过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

性质函数值当x0时，y1；当x0时，0y1；

的变化当x0时，0y1当x0时，y1

单调性是R上的增函数是R上的减函数

对称性y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称

xx

注意：（1）由指数函数y＝a(a0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a(a0，且a≠1)的图象

1

恒过点(0,1)，(1，a)，－，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝

(1a)

x

a(a0，且a≠1)的图象．

（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1，还是0a1，在第一象限内

底数越大，函数图象越靠近y轴．

四、不同底指数函数图象的相对位置

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则

0cd1ab.

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．

(2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的

大小．

五、与指数函数复合的函数单调性

f(x)

(1)关于指数型函数y＝a(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；

u

二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝a，u＝f(x)复合而成．

(2)若y＝f(