第五讲+直线、平面垂直的判定与性质课件-2025届高三数学一轮复习.pptxVIP

第五讲直线、平面垂直的

判定与性质;1.直线与平面垂直

(1)定义;定理;定理; 2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直

线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是

直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°

的角.;3.平面与平面垂直;(2)平面和平面垂直的定义;定理;定理;【名师点睛】直线与平面垂直的五个结论; 考点一线面垂直的判定与性质

[例1]如图6-5-1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底

面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝

AB＝BC，E是PC的中点.求证：

(1)CD⊥AE；;证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，;(2)由PA＝AB＝BC，且∠ABC＝60°，得△ABC为正三角形，;∴PA⊥AB.;【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键; 【变式训练】

如图6-5-2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC

＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上.

(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；

(2)在下列给出的三个条件中选取两个条件，并根;证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，;(2)选①和③能证明AB1⊥平面C1DF.以下是证明过程.

如图D49，连接DF，A1B.;∴侧面AA1B1B为正方形.

∴A1B⊥AB1，DF⊥AB1.;考点二面面垂直的判定与性质;证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，;(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.;【题后反思】证明面面垂直的两种方法;【变式训练】;(1)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB.; 考点三垂直关系的综合应用

[例3]如图6-5-5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平

面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

(1)证明：△PBC是直角三角形；

(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC

所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC;(1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一;(2)解：如图6-5-6，过点A作AH⊥PC于点H，;又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.

∵PA⊥平面ABC，

∴∠PCA就是PC与平面ABC所成的角.;【题后反思】; 【变式训练】

在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥

平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，

若存在，请证明；若不存在，请说明理由；;解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.;由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，; 考点四平行关系与垂直关系的综合应用

[例4]如图6-5-7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，

平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，

PB的中点.求证：

(1)PE⊥BC；

(2)平面PAB⊥平面PCD；;证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.;(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.;(3)如图6-5-8，取PC中点G，连接FG，DG.;因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，;【题后反思】;【变式训练】;(1)证明：如图D51，连接AC，因为四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD.

因为PA⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，

所以PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.

又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，;(2)解：设AC∩BD＝O，如图D51，连接OE，因为四边形; 所以平面BDE把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积比为1∶3

(或3∶1).;2.如图6-5-10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，; 证明：(1)如图D52，设BC1与B1C相交于点E，连接DE，由

题意可得，D，E分别为AB，BC1的中点，所以DE是△ABC1的

中位线，所以DE∥AC1，因为DE?平面B1CD，AC1平面B1CD，

所以AC1∥平面B1CD.;(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，