专题1.2 空间向量基本定理（4类必考点）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题1.2空间向量基本定理

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【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】 1

【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】 10

【考点3：基底的判断】 13

【考点4：基底的应用】 17

【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】

【知识点：空间向量基本定理】

如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.

1．（2023春·江苏淮安·高一统考期末）在正四棱锥P-ABCD中，若PE=23PB，PF=13PC，平面AEF与棱PD

A．746 B．845 C．745

【答案】B

【分析】利用A、E、F、G四点共面，PG=25PD，由锥体体积公式，求出VP-

【详解】如图所示，

??

设PG=λPD，由A、E、F

设AF=xAE

即AP+

得23

又AP，AB，AD不共面，则23-y-x

设h1，h2分别是点F到平面PAE和点C到平面PAB的距离，则

所以VP

VP-ABC

同理，VP-AGFVP

V

则四棱锥P-AEFG与四棱锥P-

故选：B

【点睛】方法点睛：

点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.

2．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1

A．472 B．

C．382 D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的数量积求模即可.

【详解】由图形易得AO=

所以AO2

=

即AO=

故选：A

3．（多选）（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，且

A．AC1⊥

C．BD1=

【答案】AB

【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.

【详解】如图，

由题意得，AB2=

AB?

AB?

AD?

对于选项A，A

=

=

=-

所以AC1⊥

故选项A正确.

对于选项B，B

=

=AD?

故选项B正确.

对于选项C，B

=

=16+25+16+20-16-20=41

所以BD1

故选项C错误.

对于选项D，O

故选项D错误.

故选：AB

4．（2023·全国·高一专题练习）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1

【答案】6

【分析】利用空间向量基本定理，得到AC1=AB+AD+A

【详解】由题设，可得如下示意图，

??

∴AC

设AB=a，则AD=

所以AB?AD=12

所以以A

=

=

=

=6

AC

所以cos

故答案为：63

5．（2022秋·高二课时练习）设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG

【答案】2

【分析】利用向量三角形法则，结合三角形重心的性质和中线的性质即可得解．

【详解】取BC的中点E，连接AE，如图所示，

因为OG=3GG1，

所以OG=3

=34

=1

又OG=

所以x=y=

故答案为：2．

6．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足DP=xDA+yDC+z

【答案】4

【分析】由向量DP满足条件可知P是平面ACF上的动点，转化为求E到平面ACF的距离，利用补形及等体积法求解即可.

【详解】因为点P满足DP=xDA

所以A,C,F,

所以EP的最小值即为E到平面ACF的距离.

由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，

则可知AF=

设E到平面ACF的距离为h，

则VE

即13

解得h=4

所以EP的最小值为43

故答案为：4

7．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，M是A

【答案】4

【分析】先求出球的半径R，然后分析可得，当OM与截面垂直时，距离最大，此时截面圆的半径r最小.利用向量表示出OM=-16A1B

【详解】

如图，连结A1C，取A1C中点为

正方体的外接球是以A1C为直径的球，A1

因为经过点M作平面α截正方体的外接球，截面为圆，设圆的半径为r.

根据圆的性质可知，圆心O到截面的距离越大，圆的半径越小，

显然当OM与截面垂直时，距离最大，此时截面圆的半径最小.

因为A1M=

所以OM=A1M-

所以OM2=-

根据球的性质可知，r2

所以，r2=R

所以，截面圆的面积为πr

故答案为：49

8．（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体内一动点（包括表面），若AP

【答案】161+2

【分析】先根据空间向量运算法则及0≤x≤y≤1得到点P