专题1-4点到直线的距离（考点清单，5种题型典例剖析+考场练兵）解析版_1_1.docx

专题1-4点到直线的距离（考点清单，5种题型典例剖析+考场练兵）

知识点1．点到直线的距离

1．点到直线的距离

点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．

2．点到直线的距离公式

平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．

【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有，所以有.

知识点2．点到直线的距离问题

（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．

（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

知识点3.两条平行直线间的距离

1．两条平行直线间的距离

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．

2．两条平行直线间的距离公式

一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离．

知识点4．直线关于直线对称

（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：

①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；

②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；

③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法．

（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0，

①l关于x轴对称的直线是Ax+B（?y）+C=0；

②l关于y轴对称的直线是A（?x）+By+C=0；

③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；

④l关于直线y=?x对称的直线是A（?y）+B（?x）+C=0．

知识点5．两点间的距离

两点间的距离公式平面上任意两点间的距离公式为.

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．

知识点6．对称问题

对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．

1．点关于点对称

点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．

设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．

2．点关于直线对称

对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：

①（直线l的斜率存在且不为零）；

②线段的中点在直线l上；

③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．

常见的点关于直线的对称点：

①点关于x轴的对称点；

②点关于y轴的对称点；

③点关于直线y=x的对称点；

④点关于直线y=?x的对称点；

⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点；

⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点

题型一：求点到直线的距离

一、填空题

1．（2023下·上海静安·高二校考期中）点到直线的距离为．

【答案】1

【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.

【详解】点到直线的距离.

故答案为：

2．（2023·上海·高二专题练习）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为．

【答案】

【分析】解不等式即得解.

【详解】由题得直线的方程为，

所以原点到直线的距离，

所以，

解得.

故答案为：

3．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为.

【答案】2

【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值.

【详解】因为表示动点到坐标原点，

所以的最小值为到线的距离.

故答案为：2.

二、解答题

4．（2023上·高二课时练习）求平行直线与之间的距离．

【答案】

【分析】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.

【详解】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离，

为方便计算，我们在直线上取一个特殊点，

则点到直线的距离为，

所以直线与之间的距离为．

5．（2023上·高二课时练习）分别求点到下列直线的距离：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）利用点到直线的距离公式即可得到答案.

【详解】（1）由题意得，

则距离.

（2）由题意得，

则距离.

6．（2023上·高二课时练习）已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值．

【答案】3

【分析】依题意可知，当与直线垂直时点与点之间距离的最小，求出点到直线的距离即可.

【