重难点突破15 圆锥曲线中的经典七大名圆问题（七大题型）.docx

重难点突破15圆锥曲线中的经典七大名圆问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：蒙日圆问题 2

题型二：直径为圆问题 5

题型三：四点共圆问题 6

题型四：内准圆问题 8

题型五：彭赛列圆问题 10

题型六：焦点弦圆 11

题型七：准线圆 13

03过关测试 14

1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．

2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．

3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．

4、证明四点共圆的方法：

方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．

方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．

方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．

方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．

题型一：蒙日圆问题

【典例1-1】（2024·上海·模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：.

(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）；

(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.

【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆．

(1)求该椭圆的方程．

(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746—1818）发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”．若椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，直线与椭圆的蒙日圆相交于点，求证：为定值．

【变式1-1】法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为.

(1)求椭圆的蒙日圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）；

(3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值.

【变式1-2】定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；

(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

【变式1-3】（2024·江西抚州·模拟预测）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.

①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；

②求证：线段的长为定值.

题型二：直径为圆问题

【典例2-1】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

【典例2-2】已知，直线l：，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点．

(1)当直线l过右焦点时，求直线l的方程．

(2)当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围．

(3)设直线l与椭圆C交于A、B两点，、的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

【变式2-1】（2024·高三·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.