微积分课件前六章导数与微分高阶.pptxVIP

高阶导数的定义几个初等函数的n阶导数隐函数与参数方程的二阶导数§3.3高阶导数上页下页铃结束返回首页函数和、差、积的n阶导数

我们把函数y?f(x)的导数y??f?(x)的导数(如果可导)叫做函数y?f(x)的二阶导数?记作类似地?二阶导数的导数叫做三阶导数?三阶导数的导数叫做四阶导数;一般地?(n?1)阶导数的导数叫做n阶导数?分别记作下页高阶导数的定义y????y(4)?????y(n)

例1y?2x2?lnx?求y???例2y?tanx?求y???解解下页y??sec2xy???2secx?(secx)??2secx?secx?tanx?2sec2x?tanx?

例3解

例1求函数ln(1?x)的n阶导数?一般地?可得y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4?解y?ln(1?x)?y(n)=(-1)(-2)???(-n+1)(1+x)-ny??=-(1+x)-2?y??(1+x)-1?y???=(-1)(-2)(1+x)-3?下页几个初等函数的n阶导数求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式

例2求正弦函数和余弦函数的n阶导数?解y?sinx?一般地?可得下页

例3求幂函数y?xm(m是任意常数)的n阶导数公式?而(xn)(n?1)?0?当m?n时?得到即(xm)(n)?m(m?1)(m?2)???(m?n?1)xm?n?一般地?可得y??mxm?1?y???m(m?1)xm?2?y????m(m?1)(m?2)xm?3?y(4)?m(m?1)(m?2)(m?3)xm?4?y(n)?m(m?1)(m?2)???(m?n?1)xm?n?(xn)(n)?m(m?1)(m?2)???3?2?1?n!?解首页

这一公式称为莱布尼茨公式?函数和差的n阶导数函数积的n阶导数用数学归纳法可以证明(u?v)(n)?u(n)?v(n)?(uv)??u?v?uv??(uv)???u??v?2u?v??uv???(uv)????u???v?3u??v??3u?v???uv????下页函数和差、积的n阶导数

例1y?excosx?求y(4)?v???sinx?v????cosx?v????sinx?v(4)?cosx?莱布尼茨公式:解令u?ex?v?cosx?有结束所以y(4)?u(4)?v?4u????v??6u???v???4u??v????u?v(4)?ex[cosx?4(?sinx)?6(?cosx)?4sinx?cosx]??4excosx?

例2解

间接法利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例1解

例2求解:

隐函数与参数方程的二阶导数1.隐函数的二阶导数所确定的隐函数y二阶导数.例1求由方程解:在方程两边分别对x求导

代入并化简)(将法1

直接对利用隐函数求导发求二阶导数法2

例2解

2.参数方程的二阶导数，如果函数具有二阶导数,由一阶导数和)(txj=还可以组成参数方程再用参数方程的求导方法得二阶导数

例1求参数方程所确定的函数y的二阶导数。解：

例2证

小结高阶导数的定义及运算;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.