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课程目的设立;主题探究导学;;;1.根据定积分的定义,你能总结出定积分的
计算环节吗?
提示:(1)分割:将区间[a,b]分成n份(普通状况下为了便于计算,经常将区间[a,b]n等分);
(2)近似替代:取点ξi∈[xi-1,xi];
(3)求和:
(4)取极限:;2.对定义中ξi∈[xi-1,xi]的取法,普通状况下我们是如何取的?
提示:普通是取区间的左或右端点.;;1.试将由曲线y=sinx,直线x=0,x=,
y=0所围成的图形的面积写成定积分的
形式.
提示:根据定积分的几何意义,由曲线
y=sinx,直线x=0,x=,
y=0所围成的如图阴影面积能够表达为
S=;2.当f(x)0时,表达什么?
提示:如果在区间[a,b]上,函数f(x)
0,那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所
示).由于Δxi0,f(ξi)0.从而定积分
0,这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数,
即=-S或S=-.;典型例题精析;知能巩固提高;一、选择题(每小题5分,共15分)
1.设持续函数f(x)在[a,b]上恒有f(x)0,则定积分
的符号()
(A)一定是正的
(B)一定是负的
(C)可能正也可能负
(D)以上答案均不对的
【解析】选A.根据定积分的几何意义不难得出答案.;2.(2010·福建师大附中高二检测)用S表达图中阴影部分的面积,则S的值是()
【解题提示】注意与图中面积的不同.
【解析】选D.根据定积分的几何意义可知,应选D.;3.若()
(A)9(B)12(C)15(D)18
【解析】选C.根据定积分的性质及几何意义可得
=3+4×(3-0)=15.;二、填空题(每小题5分,共10分)
4.用不等号连接下列各式:
【解析】(1)根据定积分的几何意义,画出这两个定积分的几何图形以下:
由几何图形可知;(2)根据定积分的性质可知
再根据定积分的几何意义可知
答案:(1)(2);5.(2010·厦门高二检测)计算定积分
【解析】表达圆x2+y2=9的上半圆,其面积为S=×π
×32=.即所求定积分的值为.
答案:;三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)
6.将下图阴影部分的面积用定积分表达出来.
【解题提示】运用定积分的几???意义直接求解即可,不能直接表达出来时,要将图形适宜分割,使得能够运用定积分来表达.;【解析】由y=x2和y=x可得它们的交点为(0,0),(1,1),因此图中阴影部分的面积为;7.运用定积分的性质和几何意义求定积分
【解析】
作出函数f(x)=的图像如图.
;1.(5分)与定积分相等的是();【解析】选D.
∵被积函数;2.(5分)(2010·安庆高二检测)
【解题提示】直接求解不容易,就应考虑特殊图形,例如本题的图形就是圆的一部分.;【解析】表达圆
(x-3)2+y2=1的四分之一的面积,如图阴影所示
面积S=
答案:;3.(5分)将一弹簧压缩x厘米,需要用4x牛顿的力,将它从自然长度压缩5厘米做的功为_____(焦耳).
【解析】根据定积分的物理意义可知,将弹簧从自然长度压缩5厘米做的功为再由定积分的几何意义可知
=×5×20=50(牛顿·厘米)=0.5(焦耳).
答案:0.5;4.(15分)用定积分表达抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积.
【解析】解方程组得交点的横坐标为x=0和x=3.如图,;由y=x2-2x+3、x=0、x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为
由y=x+3、x=0、x=3和y=0围成的梯形的面积为,因此所求图形(阴影)的面积为
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