《高等数学Ⅱ》 试卷3答案.docx

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20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试

试卷·参考答案

单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

D

A

D

B

D

B

C

D

题号

11

12

13

14

15

答案

C

C

B

D

D

判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

16、×17、×18、×19、√20、×

21、×22、×23、√24、×25、√

三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）

26、27、28、

29、30、

四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）

31、解：因为，.（2分）

切平面方程为…………（2分）

法线方程为………（2分）

32、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

33、求微分方程的通解.（6分）

解：方程为一阶线性非齐次微分方程

令，………….（1分）

由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：

…….（2分）

………….（3分）

34、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）

视为是型区域：

…….（2分）

则有

…………….（2分）

35、求幂级数的和函数.（6分）

解：………….（1分）

所以…。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.（1分）

当时，级数发散，当时，级数收敛，

所以级数的收敛域为…………………...（2分）

设所求和函数为，即

，………….（1分），………….（1分）

五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）

36、设函数?f(x)?在闭区间?[a,b]?上连续，在开区间?(a,b)?上可导，且?f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个?c∈(a,b)，使得?f′(c)?=?f(c)b?c?

证明：

令?F(x)=(x?b)f(x)，则?F(x)?在?[a,b]?上连续，在?(a,b)?上可导。………….（2分）

利用乘法法则，我们有F′(x)=(x?b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）

由于?F(a)=(a?b)f(a)=0?和?F(b)=(b?b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个?c∈(a,b)，使得?F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）

由?F′(c)=0，我们得到

(c?b)f′(c)+f(c)=0。…….…….………….（2分）

将上式整理，得到

f′(c)=?c?bf(c)?。…………….…….………….（1分）

由于?c=b（因为?c∈(a,b)），我们可以进一步写为

f′(c)=?b?cf(c)?。

因此，我们证明了存在至少一个?c∈(a,b)，使得?f′(c)?=?f(c)b?c?。…….（1