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思考题(10)参考答案:
1.甲乙两人进行比赛,每局比赛甲胜的概率为0.3,乙胜的概率为0.2,战平的概率为0.5。每局比赛后,
胜者得1分,负者得−1分,平局都得0分。得分首先达到2分者赢得比赛(总分不再改变)。记状态
(x,x,x,x,x)(=−2,−1,0,1,2),并以X(n)表示第n局比赛后甲的得分。判断状态x,x,x,x,x
1234512345
哪些是常返态?哪些是非常返态?
(n)⎧1,n1;+∞(n)
解:因f11⎨有f∑f1,故状态x是常返态;
11111
0,n1.n1
⎩
因f(n)⎨⎧1,n1;有f+∞f(n)1,故状态x是常返态;
5555∑555
0,n1.n1
⎩
因f(1)0.5,f(2)0.2=×0.3+0.3×0.20.12,
3333
f(3)0.2=×0.5×0.3+0.3×0.5×0.20.06,
33
f(n)0.2=×0.5n−2×0.3+0.3×0.5n−2×0.20.12=×0.5n−2,n1,
33
+∞+∞0.12
(n)n−2
则ff0.5+0.12×0.50.5=+0.74=1,
33∑33∑
1−0.5
n1n2
故状态x是非常返态;
3
因状态x,x与x相通,它们的状态类型相同,故状态x,x是非常返态。
24324
2.甲乙两人进行比赛,每局比赛甲胜的概率为0.3,乙胜的概率为0.2,战平的概率为0.5。每局比赛后,
胜者得1分,负者得−1分,平局都得0分。得分为1分时再获胜或战平得分不变,负则得−1分;得
分为−1分时再失败或战平得分也不变,胜则得1分。记状态(x,x,x)(−1,0,1),并以X(n)表示第
123
n局比赛后甲的得分。判断状态x0是否常返态?是否正常返态?若是,求µ。并用特征向量法求
2
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