重难点03集合与不等式中的4种解题方法（解析版）_1.docx

重难点03集合与不等式中的4种解题方法

【考点剖析】

题型一：数轴法解集合问题

一．填空题（共2小题）

1．（2021秋?奉贤区校级期中）集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}，M＝{x|x2≤25}，则P∩M＝{1，2，3，4，5}．

【分析】集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，M＝{x|x2≤25}＝[﹣5，5]，依次可解决此题．

【解答】解：∵集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，M＝{x|x2≤25}＝[﹣5，5]，

∴P∩M＝{1，2，3，4，5}．

故答案为：{1，2，3，4，5}．

【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题．

2．（2017秋?徐汇区校级期中）集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，A∪B＝R，则a的取值范围是a≤1．

【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．

【解答】解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，

且A∪B＝R，如图，故当a≤1时，命题成立．

故答案为：a≤1．

【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．

二．解答题（共1小题）

3．（2021秋?徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，?，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．

（1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；

（2）当时n＝1010，若集合S具有性质P，

①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；

②求集合中S元素个数的最大值．

【分析】（1）当n＝10时，A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10?，20}，由题中所给新定义直接判断即可；

（2）当n＝1010时，A＝{1，2，3，?，2019，2020}，m≤1010，（m∈N*）

①根据T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S，可得1≤2021﹣x0≤2020，利用性质P的定义加以验证

即可说明集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P；

②设集合S有k个元素，由（1）可知，任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有1个不超过1010，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010，然后利用性质P的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得k≤1346．

【解答】解：（1）当n＝10时，集合A＝{1，2，???，19.20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，???，19，20}不具有性质P，

因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素b1＝10与b2＝10+m，使得么|b1﹣b2|＝m成立，

集合C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈*N}具有性质P，

因为可取m＝1＜10，．对于该集合中任一元素，

c1＝3k1﹣1，c2＝3k2﹣1，（k1，k2∈N*），都有|c1﹣c2|＝3|k1﹣k2|≠1，

（2）当n＝1010时，集合A＝{1，2，3，?，2019，2020}，m≤1010（m∈N*），

①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P．

首先因为T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S．

因为S?A，所以x0∈{1，2，3，?，2020}．

从而1≤2021﹣x0≤2020，即t∈A，所以T?A．

由S具有性质P，可知存在不大于1010的正整数m，

使得对s中的任意一对元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m．

对于上述正整数m，从集合T＝{2021﹣x|x∈S}中任取一对元素t1＝2021﹣x1，t2＝2021﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|＝|s1﹣s2|≠m．

所以，集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P；

②设集合S有k个元素，由（1）可知，若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P．

任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有一个不超过1010．

所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010．

不妨设S中有个元素b1、b2、?、bt不超过1010．

由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1010．

使得对S中任意两个元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m．

所以一定有b1+m、b2+m、?，bt+m?S．

又bi+m≤1000+1000＝2000，故b1+m、b2+m、?、b1+m∈A．

即集合A中至少有t