重难点04一元二次不等式与二次函数专练(13种题型)(解析版)_1.docx

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重难点04一元二次不等式与二次函数专练(13种题型)

【考点剖析】

一.元素与集合关系的判断(共1小题)

1.(2022秋?徐汇区校级月考)已知A=,若1∈A,3?A,则实数a的取值范围为(﹣3,﹣1).

【分析】根据元素与集合的关系建立不等式组,再解分式不等式组即可.

【解答】解:∵1∈A,3?A,

∴,∴,

∴﹣3<a<﹣1,

故答案为:(﹣3,﹣1).

【点评】本题考查元素与集合的关系,分式不等式的解法,属基础题.

二.集合的包含关系判断及应用(共1小题)

2.(2022秋?黄浦区校级月考)设集合P={m|﹣2<m<0},Q={m|mx2+2mx﹣2<0对任意的实数x恒成立},则下列关系中成立的是()

A.P?Q B.Q?P C.P=Q D.P∩Q=?

【分析】分类讨论确定不等式mx2+2mx﹣2<0对任意的实数x恒成立的条件,从而化简出Q={m|﹣2<m≤0},从而判断.

【解答】解:①当m=0时,

mx2+2mx﹣2<0可化为﹣2<0,

显然恒成立;

②当m≠0时,

由mx2+2mx﹣2<0对任意的实数x恒成立知,

解得﹣2<m<0,

综上所述,﹣2<m≤0,

故Q={m|﹣2<m≤0},

故P?Q,

故选:A.

【点评】本题考查了恒成立问题及集合间关系的判断,应用了分类讨论的思想方法,属于中档题.

三.集合关系中的参数取值问题(共1小题)

3.(2021秋?宝山区校级期中)已知集合,B={x|x2﹣(a+1)x+a≤0}.

(1)若A?B,求实数a的取值范围;

(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.

【分析】=[1,2),B={x|x2﹣(a+1)x+a≤0}={x|(x﹣1)(x﹣a)≤0},结合间关系可解决此题.

【解答】解:=[1,2),B={x|x2﹣(a+1)x+a≤0}={x|(x﹣1)(x﹣a)≤0},

(1)∵A?B,∴a∈[2,+∞);

(2)∵A∪B=A,∴B?A,∴a∈[1,2).

【点评】本题考查一元二次不等式解法及集合间关系应用,考查数学运算能力,属于基础题.

四.交集及其运算(共1小题)

4.(2022秋?普陀区校级期中)设a∈R,集合A={x|x2﹣ax+a<0,x∈R}.若A∩N为单元素集,则()

A.实数a既有最大值,也有最小值

B.实数a有最大值,无最小值

C.实数a无最大值,有最小值

D.实数a既无最大值,也无最小值

【分析】由题意知方程x2﹣ax+a=0有两个不同的实根,从而可得a<0或a>4;构造函数f(x)=x2﹣ax+a,分a<0与a>4讨论根的分布即可.

【解答】解:由题意知,

A={x|x2﹣ax+a<0,x∈R}≠?,

故方程x2﹣ax+a=0有两个不同的实根,

则Δ=a2﹣4a>0,

解得a<0或a>4;

令f(x)=x2﹣ax+a,

①当a<0时,

f(x)在[,+∞)上单调递增,

又∵f(0)=a<0,

∴0∈A∩N,

又∵A∩N为单元素集,

∴1?A,

即f(1)=1﹣a+a≥0,

上式显然成立,

故a<0;

②当a>4时,

∴f(2)=4﹣2a+a=4﹣a<0,

∴2∈A∩N,

又∵A∩N为单元素集,

∴1?A,3?A,

即f(1)=1﹣a+a≥0,f(3)=9﹣3a+a≥0,

解得a≤;

故4<a≤;

综上所述,实数a的取值范围为(﹣∞,0)∪(4,];

故实数a有最大值,无最小值;

故选:B.

【点评】本题考查了二次函数与二次不等式间的关系的应用,同时考查了二次方程的根的分布问题及分类讨论的思想方法,属于中档题.

五.其他不等式的解法(共5小题)

5.(2022秋?浦东新区校级期中)已知全集为R,若不等式的解集为A,不等式的解集为B,则={1}.

【分析】观察不等式与不等式解集之间的关系,注意分母不为0.

【解答】解:不等式化为>0,即>0,解集A为(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞),

则可知不等式的解集为B=[﹣2,1),

故=[﹣2,1],=(﹣∞,﹣2)∪[1,+∞),则={1}.

故答案为:{1}.

【点评】本题考查分式不等式的解法,属于基础题.

6.(2022秋?浦东新区校级期中)不等式的解集为(0,1).

【分析】将不等式右边的常数1移项到左边,然后通分,去分母化成一元二次不等式即可.

【解答】解:原不等式化为﹣1>0,即>0,

即等价于a(1﹣a)>0,解集为(0,1).

故答案为:(0,1).

【点评】本题考查分式不等式的解法,属于基础题.

7.(2021秋?黄浦区校级月考)幂函数,k∈R,p∈Z在(0,+∞)上是严格增函数.

(1)求幂函数y=f(x)的表达式;

(2)求[f(x)]2﹣3f(x)+2≤0的解集.

【分析】(1)由题意可得,k=1,﹣2p2+4p>0,解得0<p<2,再结合p为

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