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重难点06基本不等式的运用50题专练(7种题型)
【考点剖析】
一.命题的真假判断与应用(共1小题)
(多选)1.(2022秋?天宁区校级期中)在下列命题中不正确的是()
A.当x>3时,则
B.当m<﹣1时,则m+<﹣3
C.当x∈(2,+∞)时,函数y=x+的最小值是3
D.若m,n∈R,则,当且仅当m=n时,等号成立
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】利用重要不等式和基本不等式,结合它们的适用条件,逐项判断即可.
【解答】解:对于A,当x>3时,,当且仅当,x=3时取等号,因为x>3,所以,故A正确;
对于B,因为m<﹣1,所以﹣1=﹣3,当且仅当m=﹣2时取等号,故B错误;
对于C,因为x>2,所以==3,当且仅当,即x=2时取等号,显然无法取到3,故C错误;
对于D,??2mn≤m2+n2,(m,n∈R),该式显然成立,故原式成立,故D正确.
故选:BC.
【点评】本题考查利用基本不等式求最值的方法,以及适用条件,属于中档题.
二.等式与不等式的性质(共3小题)
2.(2021秋?玄武区校级期中)若a,b,c∈R,则下列说法正确的是()
A.若a>b,则a2>b2 B.若c<a,则cb<ab
C.若ab≠0且a<b,则> D.若a>b,则a+c>b+c
【考点】等式与不等式的性质;不等关系与不等式.
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可.
【解答】解:对于A:当a=0,b=﹣1时,则不成立,故A错误;
对于B:当b=0时,则不成立,故B错误;
对于C:当a=﹣1,b=1时,则不成立,故C错误;
对于D:根据不等式的同向可加性可得D正确.
故选:D.
【点评】本题主要考查不等式的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.比较基础.
(多选)3.(2021秋?江都区期中)若a>b,x>y,则下列不等式中成立的是()
A.x﹣b>y﹣a B.a+x>b+y C.ax>by D.
【考点】等式与不等式的性质;不等关系与不等式.
【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.
【解答】解:对于A,∵a>b,x>y,
∴由不等式的加法性可得,a+x>b+y,即x﹣b>y﹣a,故A正确,
对于B,∵a>b,x>y,
∴由不等式的加法性可得,a+x>b+y,故B正确,
对于C,令a=1,b=﹣1,x=1,y=﹣1,满足a>b,x>y,但ax=by,故C错误,
对于D,令a=1,b=﹣1,x=1,y=﹣1,满足a>b,x>y,但,故D错误.
故选:AB.
【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的关键,属于基础题.
(多选)4.(2021秋?高邮市期中)已知a,b,c,d∈R,则下列结论正确的为()
A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若b<a<0,则(a﹣b)c>0
C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,c>d,则a﹣d>b﹣c
【考点】等式与不等式的性质;不等关系与不等式.
【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.
【解答】解:对于A,令a=1,b=﹣1,c=1,d=﹣1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故A错误,
对于B,当c=0时,(a﹣b)c=0,故B错误,
对于C,∵ac2>bc2,
又∵c2>0,
∴a>b,故C正确,
对于D,∵a>b,c>d,
∴由不等式的可加性可得,a+c>b+d,即a﹣d>b﹣c,故D正确.
故选:CD.
【点评】本题主要考查了不等式的性质,掌握特殊值法是解本题的关键,属于基础题.
三.不等式比较大小(共1小题)
5.(2021秋?镇江期中)已知a,b为不相等的实数,记M=a2﹣ab,N=ba﹣b2,则M与N的大小关系为()
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
【考点】不等式比较大小.
【分析】作差即可比较大小关系.
【解答】解:∵M=a2﹣ab,N=ba﹣b2,
∴M﹣N=a2﹣ab﹣ba+b2=(a﹣b)2,
∵a,b为不相等的实数,
∴(a﹣b)2>0,
∴M>N.
故选:A.
【点评】本题考查了作差法、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
四.基本不等式及其应用(共32小题)
6.(2022秋?武进区校级月考)已知x>1,则y=4x+1+的最小值9.
【考点】基本不等式及其应用.
【分析】由题意可得x﹣1>0,4x+1+=4(x﹣1)++5,利用基本不等式可得答案.
【解答】解:因为x>1,
所以x﹣1>0,
所以4x+1+=4(x﹣1)++5≥2+5=9,当且仅当4(x﹣1)=,即x=时取等号,
所以x=时,y=4x+1+取得最小值9,
故答案为:9.
【点评】本题考查基本不等式的应用,解题中需要理清思路,属于基础题.
7.(2022秋?赣榆区
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