复数及其运算公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

课程名称;对象;复变函数的应用背景;16世纪，解代数方程时引入复数;;;4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。;7）Laurent级数应用于数字信号解决。;10）Laplace变换应用于控制问题。;;一、复数的概念;复数;普通,任意两个复数不能比较大小。;例1;定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2);z1+z2=z2+z1；

z1z2=z2z1；

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；

z1(z2z3)=(z1z2)z3；

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.;

;例2;三、复数的表达办法;数z与点z同义.;显然成立：;复数和与差的模的性质;注意1;辐角主值的定义;;当z落于一,四象限时，不变。;运用直角坐标与极坐标的关系;运用Euler公式;例3将下列复数化为三角表达式与指数表达式:;故;例4;化简后得;;球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表达复数.;我们规定:复数中有一种唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.;涉及无穷远点的复平面称为扩充复平面.;∞的几何解释：

由于在复平面上没有一点能与∞相对应，所

以，只得假想在复平面上添加一种“假想点”（或“抱负点”）使它与∞对应，我们称此“假想点”为无穷远点．

????

有关无穷远点，我们商定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，任二分之一平面都不包含无穷远点．;

?这里要特别注意的是，这里的记号∞是一种数，而在数学分析中所见的记号+∞或－∞均不是数，它们只是表达变量的一种变化状态．;由复数的表达式和代数运算得以下关系式;即：;几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一种角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。;要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.;定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，

两个复数的商的辐角等于被除数与除

数的辐角之差。;例6;deMoivr公式;例7求的值;能够推得:;;例8;;（1）持续曲线;（2）光滑曲线;（3）Jordan曲线;;课堂练习;若是简朴曲线，与是定义在区

间[a,b]上持续并且有持续的导数，并且

有???则称为光滑曲线，由有限

条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑

曲线．;（1）邻域;(2)去心邻域;(3)内点;(5)区域;注意1：区域的边界可能是由几条曲线和某些

孤立的点所构成的.;以上基本概念的图示;;例设点集;定义:若点集D为区域则称D连同其边界

所构成的点集称为闭域。

如果区域D是有界集合，则称它为有界

域，否则为无界域。;(8)单连通域与多连通域的定义;任意一条简朴闭曲线必将复平面唯一地分成三个点集，使它们满足：

（1）彼此不相交；

（2）是有界区域（称为曲线的内部）；

（3）是无界区域（称为曲线的外部）；

（4）C既是的边界又是的边界；;例设????????????????????，??????????????????????;3例题;是角形域,;表达成1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,;有界集.;例2