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考点规范练28数列求和
1.在数列{an}中,如果a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为()
A.2500 B.2600 C.2700 D.2800
答案:B
解析:当n为奇数时,an+2-an=0,所以an=1;
当n为偶数时,an+2-an=2,所以an=n,
故an=1
于是S100=50+(2+100
2.已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则数列1a
A.100101 B.99100 C.101
答案:D
解析:∵an+1=a1+an+n,a1=1,
∴an+1-an=1+n.
∴an-an-1=n(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)
∴1an=
∴数列1an的前100项和为2×(1-12+12
3.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=1f(n+1)+f(n),n∈N
A.1020-1 B.1020+1
C.1021-1 D.1021+1
答案:C
解析:由f(4)=2,可得4a=2,
解得a=12
则f(x)=x1
即an=1f
则S1020=a1+a2+a3+…+a1020=(2-1)+(3-2)+(4-
4.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前60项和为()
A.3690 B.3660
C.1845 D.1830
答案:D
解析:∵an+1+(-1)nan=2n-1,
∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1;①
当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-a2k-1=4k-3;②
当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+2-a2k+1=4k+1.③
由①-②得a2k+1+a2k-1=2,
∴(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.
由①+③得a2k+a2k+2=8k,
∴(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=15×8+15×142
∴a1+a2+…+a60=30+1800=1830.
5.已知等差数列{an}中,a5=π2.若函数f(x)=sin2x+1,设yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为
答案:9
解析:由题意,得yn=sin(2an)+1,
故数列{yn}的前9项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+9.
由a5=π2,得sin2a5
∵a1+a9=2a5=π,
∴2a1+2a9=4a5=2π,
∴2a1=2π-2a9,
∴sin2a1=sin2π-2a
由倒序相加可得12(sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9
∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3=3an.设bn=(n+1)log?3an,并记Tn=1b1+1b2+1b3
答案:3n4021
解析:当n=1时,可得2S1+3=2a1+3=3a1,
解得a1=3;
当n≥2时,2Sn-1+3=3an-1,
则2Sn+3-(2Sn-1+3)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,
即an=3an-1,则数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,
故数列{an}的通项公式为an=3n.
则bn=(n+1)log?33n=(n+1)log?3(
即1b
可得Tn=12[1-12+
故T4020=12
7.(新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列,bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数.记S
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n5时,TnSn.
(1)解:设等差数列{an}的公差为d.
由bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数,得b1=a1-6,b
则由S4=32,T3=16,得4
解得a
所以an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明:由(1)可得Sn=n[5+(
当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]=n+12(-
当n5时,Tn-Sn=3n2+5n-102-(n2+4n)=
当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an=(-1+14)
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