高考数学一轮总复习考点规范练34 基本立体图形、直观图、表面积和体积 (2).docVIP

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考点规范练34基本立体图形、直观图、表面积和体积

1.下列说法正确的是()

A.棱柱的两个底面是全等的正多边形

B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形

C.{直棱柱}?{正棱柱}

D.{正四面体}?{正三棱锥}

答案:D

解析:选项A中两个底面全等,但不一定是正多边形;选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直,即截面是平行四边形,但不一定是矩形;选项C中{正棱柱}?{直棱柱},故A,B,C都错;选项D中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.

2.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,顶点在底面的投影为底面的中心,若该四棱锥的体积为43

A.8 B.12

C.4+83 D.20

答案:B

解析:如图,设底面中心为O,则VP-ABCD=13×2×2×PO=433

又底面是边长为2的正方形,可得该四棱锥的斜高为12

故该四棱锥的表面积为2×2+4×12

3.某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24h降雨量的等级划分如下:

等级

24h降雨量(精确到0.1)

小雨

≤9.9

中雨

10.0~24.9

大雨

25.0~49.9

暴雨

50.0~99.9

……

……

在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示),则这24h降雨量的等级是()

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨

答案:B

解析:由题意知,一个半径为2002=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为200

所以积水深度d=13

4.在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB=6,AA1=4,则V的最大值是()

A.16π B.32π3

C.12π D.43π

答案:D

解析:正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径为r=32,所以在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内的球的半径最大值为3,所以其体积为V=43πr3=43

5.(新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)()

A.1.0×109m3 B.1.2×109m3

C.1.4×109m3 D.1.6×109m3

答案:C

解析:由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).

设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,

故该棱台的体积V棱台=13h(S1+S2+S1·S2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+

即增加的水量约为1.4×109m3.故选C.

6.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()

A.2π B.4π C.8π D.16π

答案:D

解析:由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点.当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的体积最大,最大值为13S△ABC

解得DQ=3.如图,设球心为O,半径为R,

则球心O在DQ上,且在Rt△AQO中,

OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,

解得R=2,

则这个球的表面积为S=4π×22=16π.

故选D.

7.(多选)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=2,则下列说法正确的是()

A.该四棱台的高为3

B.AA1⊥CC1

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的表面积为16π

答案:AD

解析:如图,将该四棱台补成四棱锥S-ABCD,连接AC,BD交于点O,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接SO,则SO过点O1,且SO⊥平面ABCD,所以OO1为该四棱台的高.

因为AB=22,A1B1=2,可知△SA1B1与△SAB相似比为1∶2;所以SA=2AA1=4,又由已知得AO=2,所以SO=23,所以OO1=3,即该四棱台的高为3,A正确;

因为SA=SC=AC=4,所以AA1与CC1的夹角为60°,不垂直,B错误;

该四棱台的