1.2 子集、全集、补集 知识点整理——高中数学苏教版（2019）必修第一册.docx

1.2子集、全集、补集知识点整理——高中数学苏教版（2019）必修第一册

一、知识点概述

集合论是数学的重要分支,在高中阶段主要学习集合的基本概念和运算。本节重点介绍子集、全集、补集的定义和性质,这是学好集合论的基础。

二、基本概念

1.子集

定义:设A、B是两个集合,如果A中的每一个元素都是B中的元素,那么就称A是B的子集,记作A?B。

性质:

(1)空集?是任何集合的子集;

(2)A?A;

(3)若A?B且B?A,则A=B;

(4)若A?B且B?C,则A?C。

2.真子集

定义:设A、B是两个集合,如果A?B且A≠B,那么称A是B的真子集,记作A?B。即B中至少有一个元素不属于A。

说明:A?B包含两种情况,A?B和A=B。

3.全集

定义:在特定问题中,包含所研究对象的集合称为全集,记作U。

4.补集

定义:设A是全集U的子集,由U中所有不属于A的元素组成的集合称为A在U中的补集,记作A或A^c或U-A。

三、综合练习

【例1】已知集合A={x|-2≤x1}、B={x|0x≤3},则A∩B=______,A∪B=______.

解:(1)A∩B={x|0x1};

(2)A∪B={x|-2≤x≤3}。

【例2】若集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A和B是U的两个子集且A={1,2,3,4},A∪B={1,2,3,4,5,6},求补集B。

解:由A∪B={1,2,3,4,5,6}可知B={5,6},

又U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

所以B={7,8,9}。

【例3】设A是全集U的一个子集,下列结论正确的是_______.

A.A∩A=?;B.(A)=A;C.A∪A=?;D.(A∪A)=?

解:A正确,由补集的定义可知,A与A没有交集;

B正确,两次取补集后又回到原集合;

C错误,A∪A=U;

D正确,由C可知A∪A=U,两边取补集,(A∪A)=U=?。

故选ABD。

四、知识点梳理

通过本节学习,我们掌握了集合的以下知识点:

1.子集的定义和性质:

(1)空集?是任何集合的子集;

(2)A?A;

(3)若A?B且B?A,则A=B;

(4)若A?B且B?C,则A?C。

2.真子集的定义:A?B且A≠B。

3.全集的定义:包含所研究对象的集合。

4.补集的定义:由全集中所有不属于A的元素组成的集合。

5.三个重要公式:

(1)A∩A=?;

(2)(A)=A;

(3)A∪A=U。

五、拓展思考

1.为什么要引入全集的概念?

在解决实际问题时,研究对象往往是特定范围内的。为了方便研究,需要先确定一个范围,这个范围就是问题的全集。相应地,某些元素在这个范围内,而另一些元素不在其中,由此引出了子集和补集的概念。可见,全集的引入使得集合的理论更加完备,使其更好地服务于实际问题。

2.集合的基本运算有何应用?

集合的交、并、补运算是最基本的集合运算,在实际问题中有广泛应用。比如在数据库查询、信息检索等领域,常用到对不同集合进行交、并等操作;在概率论中,事件之间的关系可用集合的子集、交集等来表示;在数理逻辑中,命题之间的联结词且、或、非可用集合的交、并、补来表示,由此建立了命题和集合之间的对应关系。

3.还有哪些集合值得关注?

除了普通集合外,数学中还有一些特殊的集合,如有限集、无限集、可数集、不可数集等。这些集合在数学理论尤其是数学分析、高等代数等学科中有重要应用。此外,模糊集合、粗糙集等新的集合理论,在人工智能、智能控制等领域发挥着重要作用。随着数学的发展,集合论必将进一步完善,在更广泛的领域大放异彩。

六、总结

本节主要学习了集合的子集、全集和补集的概念,这些概念是学习集合运算的基础。只有正确理解和掌握这些概念,才能进一步学好集合的交、并、差等运算。同时我们还要认识到,数学概念的引入和发展,都是为了更好地解决实际问题,因此在学习数学理论时,要注重联系实际,学以致用,真正领悟数学的本质和价值。