专题22 二次函数与胡不归最值问题（原卷版）.docxVIP

专题22二次函数与胡不归最值问题

解题点拨

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

【问题分析】

，记，

即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

直击中考

1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．

2．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；

(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．

3．（四川乐山·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；

②连结，求的最小值．

4．（2019·四川绵阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

5．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，点P在第四象限的抛物线上，连接交于点D，当的面积为面积的时，求出此时点P的坐标．

(3)点Q是线段上的动点，直接写出的最小值．

6．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．

(1)求出抛物线解析式的一般式；

(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；

(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．

7．（2022春·山东日照·九年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，OB=3OA，与y轴交于C点，对称轴是x=1，D为抛物线顶点．

(1)求抛物线的表达式和点D的坐标．

(2)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．Q是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？

(4)已知点C和M关于抛物线对称轴对称，点N在直线BC上运动，求的最小值．

8．（2022·天津河北·统考二模）已知抛物线（b，c为常数）的图象与x