专题25 二次函数与最大角问题（原卷版）.docxVIP

专题25二次函数与最大角问题

解题点拨

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．

【问题铺垫】

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

如图，．

换句话说，对同一个圆而言，圆周角圆外角．

【问题解决】

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．

证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，

∠AMB即为圆O的圆外角，

∴∠APB∠AMB，∠APB最大．

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理）

证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴．

即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．

直击中考

1．（山东·统考中考真题）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；

（3）动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿0C方向运动,运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)

2．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，点D是线段BC的中点，点E、F分别是线段OB，OC上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点E，F，使得DEF为等边三角形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当∠BFD的度数最大时，求tan∠OBF的值．

3．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，

①求线段PD长度的最大值．

②若为直角三角形，求出P点坐标

(3)点E为y轴上一动点，连接AE，BE，形成，当的度数最大时，求点E的坐标．

4．（2022·山东济宁·统考一模）如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x＞0)经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？

5．（2020·浙江宁波·统考模拟预测）已知，如图1，O是坐标原点，抛物线（a≠0）经过A、B、C三点，AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，点D是线段AO上一动点，连接CD、BD．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）如图2，抛物线的对称轴分别交BD、CD于点E、F，当△DEF为等腰三角形时，求出点D的坐标；

（3）当∠BDC的度数最大时，请直接写出OD的长．