专题2-1圆的方程（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵）解析版.docx

专题2-1圆的方程（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵）

知识点1．圆的标准方程

(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．

思考：平面内确定圆的要素是什么？

[提示]圆心坐标和半径．

知识点2．点与圆的位置关系

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq\r(?x0－a?2＋?y0－b?2).

位置关系

d与r的大小

图示

点P的坐标的特点

点在圆外

d＞r

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

点在圆上

d＝r

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内

d＜r

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2

知识点3.圆的一般方程

(1)圆的一般方程的概念

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

其中圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圆的半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论

①D2＋E2－4F＞0时表示圆．

②D2＋E2－4F＝0时表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).

③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．

思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

[提示]A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.

题型一：点与圆的位置关系

1.判断点与圆的位置关系的方法

(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；

(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．

2．灵活运用

若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．

1．（2023秋?浦东新区校级月考）若点在圆内，则实数的取值范围为．

【分析】由题意可得，求解得答案．

【解答】解：点在圆内，

，得，即．

实数的取值范围为．

故答案为：．

【点评】本题考查点与圆位置关系的应用，是基础题．

2．（2022秋?长宁区校级期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为

A． B．

C．，， D．，，

【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案．

【解答】解：点在圆外，

，且，

解得或．

实数的取值范围为，，．

故选：．

【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查运算求解能力，是基础题

3.已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．

[解]因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，

所以圆的半径r＝eq\r(?－3－0?2＋?－4－0?2)＝5，

所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.

因为|P1C|＝eq\r(?－1＋3?2＋?0＋4?2)＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)5，

所以P1(－1,0)在圆内；

因为|P2C|＝eq\r(?1＋3?2＋?－1＋4?2)＝5，

所以P2(1，－1)在圆上；

因为|P3C|＝eq\r(?3＋3?2＋?－4＋4?2)＝65，

所以P3(3，－4)在圆外.

4.已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

[思路探究]先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．

[解]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))

∴圆心M的坐标为(0,1)，

半径r＝|MP|＝eq\r(52＋?1－6?2)＝5eq\r(2).

∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.

∵|AM|＝eq\r(?2－0?2＋?2－1?2)＝eq\r(5)＜r，

∴点A在圆内．

∵|BM|＝eq\r(?1－0?2＋?8－1?2)＝eq\r(50)＝r，

∴点B在圆上．

∵|CM|＝eq\r(?6－0?2＋?5－1?2)＝eq\r(52)＞r，

∴点C在圆外．∴圆的标准方程