专题03导数及其应用（考题猜想，2种易错分析5个考点40题专练） 解析版.docx

专题03导数及其应用（考题猜想，2种易错分析5个考点40题专练）

易错点1：混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程

例1.[陕西安康2022调研]曲线过点的切线方程是（）

特别提醒：曲线在某点处的切线方程明确了“某点”是切点，此时切线只有唯一一条，而过某点的切线是指切线经过“某点”，此时“某点”可能是切点，也可能不是切点，这样的切线可能是多条，所以涉及过某点的切线的问题时，需要判断某点”是否为切点.

【解析】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为，即故选.

【变式】.[江苏南通2023期末]已知函数，则曲线经过点的切线方程是.

特别提醒：求曲线的切线方程时要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”的差异，在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.

【解析】设切点为，由题知，所以切线的斜率，所以切线方程为.因为切线过点，（注：点不一定是切点），所以，即，解得或，所以斜率或，又切线过点，得切线方程为或.

易错:2：对极值点的含义理解不清致误

例2.[山西长治八中2022测评]已知函数在处取得极值0，则（）

特别提醒：利用导函数分析函数的极值时，要注意的是使导函数值为0的的值不一定是极值点，极值点是使导函数值为0，且左、右导函数值异号的的值，本题的易错点在于令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值.

【解析】根据题意，，解得或，当，时，在上单调递增，无极值点，故舍去.当时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处有极小值，满足条件.综上，故选

【答案】

【变式】.[河南洛阳2023月考]若是函数的极值点，则的值为（）

特别提醒：定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在附近两侧异号，若“左负右正，则为极小值点，若“左正右负”，则为极大值点.

本题易错的地方是求出的值后，没有通过单调性来验证是否为函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.

【解析】，则，由题意可知，即，解得或.

当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，函数在上单调递增，没有极值点，故选.

【答案】

一．导数的运算（共1小题）

1．（2022春?闵行区校级期中）已知函数在处可导，则等于

A． B． C． D．0

【分析】根据导数的定义求解即可．

【解答】解：函数在处可导，

，

故选：．

【点评】本题主要考查函数导数的概念，属于基础题．

二．利用导数研究函数的单调性（共13小题）

2．（2024?邵阳模拟）已知函数的定义域为，为的导函数．若（1），且在上恒成立，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【分析】根据，构造函数，可得是减函数，然后再将化为，则问题可解．

【解答】解：令，

，

在上单调递减，由得：

，

即（1）．．

故选：．

【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式的问题，根据已知条件合理构造函数是解题的关键，属于中档题．

3．（2023秋?渭滨区期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

【分析】根据结论特点，结合已知条件，构造函数，然后研究该函数在上的单调性解决问题．

【解答】解：令，当时，，

因为，所以，

所以在上单调递减，

又为偶函数，所以的图象关于直线对称，

所以（3），（2），（1），

所以．

故选：．

【点评】本题考查导数在函数的单调性问题中的应用，属于中档题．

4．（2024春?青浦区校级月考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为或．

【分析】根据奇函数的导数为偶函数，结合已知条件得到的单调性，进而得到的符号规律，进而解不等式．

【解答】解：因为是奇函数，结合的图象可知：

在上单调递增，在，上单调递减，

故或；，

故或，

解得或．

故答案为：或．

【点评】本题考查导数与函数单调性之间的关系，以及函数的奇偶性等性质，属于中档题．

5．（2022秋?黄浦区校级月考）定义在上的函数满足；，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为．

【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

【解答】解：设，，

则，

，

，

，

在定义域上单调递增，

，

，

又，

，

故答案为：．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单