专题5.1 任意角和弧度制【六大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

专题5.1任意角和弧度制【六大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1终边相同的角的表示】 4

【题型2象限角的判定】 5

【题型3角度与弧度的换算】 8

【题型4角的终边的对称问题与垂直问题】 10

【题型5弧长公式与扇形面积公式的应用】 11

【题型6与弧度有关的实际应用问题】 13

【知识点1任意角】

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

(2)角的表示

如图：

①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.

(3)角的表示

在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：

名称

定义

图形

正角

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.

负角

一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.

零角

一条射线没有做任何旋转.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.

(4)角的相等

设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且

旋转量相等，那么就称=.

(5)角的加、减法

①角的加法

设,是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+.

②相反角的概念

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-.

③角的减法

像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-=+(-).这样，角的减法可以

转化为角的加法.

2．象限角与终边相同的角

(1)终边相同的角

若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.

(2)象限角、轴线角

①象限角、轴线角的概念

在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

象限角

角的集合表示

第一象限角

第二象限角

第三象限角

第四象限角

③轴线角的集合表示

角的终边的位置

角的集合表示

终边落在x轴的非负半轴上

终边落在x轴的非正半轴上

终边落在x轴上

终边落在y轴的非负半轴上

终边落在y轴的非正半轴上

终边落在y轴上

终边落在坐标轴上

(3)区间角、区域角

区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.

(4)角的终边的对称问题与垂直问题

角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：

角α,β终边的位置关系

α,β的关系

α与β的终边关于x轴对称

α与β的终边关于y轴对称

α与β的终边关于原点对称

α与β的终边在一条直线上

α与β的终边垂直

α与β的终边关于直线y=x对称

α与β的终边关于直线y=-x对称

【题型1终边相同的角的表示】

【例1】（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）下列各角中，与43°角终边重合的是（????）

A．137° B．143° C．-317

【解题思路】根据角的终边相同的集合判断选择即可.

【解答过程】与43°角终边重合的角为：α=43°+k?360

经检验，其他选项都不正确.

故选：C.

【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列各组中，终边相同的是（????）

A．2k+1π与4k+1

C．kπ+π2与kπ-π

【解题思路】分别求出各选项在0,2π范围内终边相同的角，比较即可

【解答过程】对A，2k+1π=2kπ+π与

对B，kπ+π3与π3、4π

对C，kπ+π2与π2、3π

对D，2kπ+2π3与2π3终边相同，2

故选：C.

【变式1-2】（2023春·四川巴中·高一统考期中）若角α、β的终边相同，则α-β的终边在（

A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上

C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上

【解题思路】结合终边相同的角的概念可得α-β

【解答过程】因为角α，β的终边相同，

所以α-β=

所以α-β的终边落在x

故选：A.

【变式1-3】（2023春·江西抚州·高一校考期末）若α与β的终边互为反向延长线，则有（????）

A．α=β±180°

C．α=β+

【解题思路】根据题意，可得α-β=180°+k

【解答过程