专题07 空间直线,平面的平行,垂直关系(9考点清单,知识导图+ 个考点清单题型解读)(解析版).docx

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专题07空间直线,平面的平行,垂直关系

(9个考点梳理+题型解读+提升训练)

①平面外一条直线与平面一条直线平行,那么该直线与此平面平行

②直线与平面平行,直线与交线平行

③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行,那么这两个平面平行

④两个平面平行,一个平面内任意一条直线与另一平面平行

⑤两个平行平面同时与第三个平面相交,这两条交线平行

①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直

②一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于平面内所有直线

③一条直线垂直于一个平面,则经过该直线的平面垂直于另一平面

④两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线,垂直于另一平面

【考点题型一】直线与平面平行

①平面外一条直线与平面一条直线平行,那么该直线与此平面平行

④两个平面平行,一个平面内任意一条直线与另一平面平行

使用①判定定理,注意说明直线在平面外。

【例1】(2024高三上·全国·专题练习)在四棱锥中,四边形ABCD是正方形,平面ABCD,且,E为线段PA的中点.

(1)求证:平面BDE.

(2)求三棱锥的体积

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)要证明线面平行,转化为证明线线平行,即通过构造中位线,即可证明;

(2)根据三棱锥的体积公式,即可求解.

【详解】(1)如图,连接交于点,连接.

??

∵四边形是正方形,在中,为的中点,

又∵为的中点,∴,

又∵平面,平面,

∴平面;

(2)如图,取的中点,连接,

??

则且,

∵平面,∴平面,

∴就是三棱锥的高.

∴.

【例2】(21-22高一·全国·课时练习)如图,在五面体中,,底面ABC是正三角形,.四边形是矩形,问:D在AC上运动,当D在何处时,有平面,并说明理由.

【答案】D为AC中点时,理由见解析

【分析】连接与交于点O,平面与平面的一个公共点,由线面平行的性质定理,与过点的直线(两平面的交线)平行,由此可得是中点满足题意,由线面平行的判定定理证明即可.

【详解】解:当D为AC中点时,平面.

理由:连接与交于点O,当D为AC中点时,,且OD是平面上的直线,而是平面外的直线,根据直线与平面平行的判定定理可知,平面.

【例3】(21-22高一下·山东淄博·期中)如图,正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点,且PM∶MA=5∶8.

??

(1)在线段BD上是否存在一点N,使直线平面PBC?如果存在,求出BN∶ND的值,如果不存在,请说明理由;

(2)假设存在满足条件(1)的点N,求线段MN的长.

【答案】(1)存在,

(2)

【分析】(1)假设存在一点N,使直线平面PBC,连接并延长,交于E,连接.可得,,再由,可得,假设成立,并且此时.

(2)由(1)得,然后利用余弦定理求得,又因,即可求得的长.

【详解】(1)存在,;理由如下:

假设存在,连接并延长,交于E,连接.

??

因为平面,平面,

平面,

所以,

则,

因为正方形中,,所以,

假设成立.

则此时.

(2)由(1)得,所以;

中,,

所以

所以;

因为,所以,

所以.

【变式1-1】.(2024高三·全国·专题练习)如图,在三棱柱中,四边形是菱形,四边形是正方形,,,,点为的中点.

求证:平面;

【答案】证明见解析

【分析】连接交于,连接,利用中位线先证明,然后根据线面平行的判定定理完成证明.

【详解】连接交于,连接,

因为四边形是正方形,所以是的中点,

又因为为的中点,所以,

因为平面,平面,

所以平面;

【变式1-2】.(2022高三·全国·专题练习)如图,已知平面,平面,,设是直线上的点,当点在何位置时,直线平面?请说明理由

【答案】点P是的中点,理由见解析.

【分析】先确定点P是的中点,取的中点O,连接、、,证明四边形是平行四边形,可得,即可得证.

【详解】解:当点P是的中点时,平面.

理由如下:如下图,取的中点O,连接、、,则且,

因为平面,平面,所以.

又,所以且,

所以四边形是平行四边形,所以,

因为平面,平面,所以平面.

所以当点P是的中点时,平面.

【变式1-3】.(2024高三·全国·专题练习)如图,在直三棱柱中,,且,点在线段(含端点)上运动,设.当平面时,求实数的值.

【答案】

【分析】连接,交于点,连接,根据线面平行的性质得到,即可得到为的中点,从而得解.

【详解】如图,连接,交于点,连接,

为的中点,且平面平面,

平面,平面,

为的中点,即实数的值为.

【考点题型二】平面与平面平行

③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行,那么这两个平面平行

注意说明两条相交直线都与另一平面平行,现在教材不谈两个平面内分别有两条相交直线对应平行。

【例1】(20-21高一下·湖南张家界·期中)如图,在四棱锥中,,,平面,,.设M,N分别为,的中点.

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