专题07 空间直线，平面的平行，垂直关系（9考点清单，知识导图+ 个考点清单题型解读）（解析版）.docx

专题07空间直线，平面的平行，垂直关系

（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行

②直线与平面平行，直线与交线平行

③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行

④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行

⑤两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行

①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

②一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线

③一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面

【考点题型一】直线与平面平行

①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行

④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行

使用①判定定理，注意说明直线在平面外。

【例1】（2024高三上·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.

(1)求证：平面BDE.

(2)求三棱锥的体积

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即通过构造中位线，即可证明；

（2）根据三棱锥的体积公式，即可求解.

【详解】（1）如图，连接交于点，连接.

??

∵四边形是正方形，在中，为的中点，

又∵为的中点，∴，

又∵平面，平面，

∴平面；

（2）如图，取的中点，连接，

??

则且，

∵平面，∴平面，

∴就是三棱锥的高.

∴.

【例2】（21-22高一·全国·课时练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．

【答案】D为AC中点时，理由见解析

【分析】连接与交于点O，平面与平面的一个公共点，由线面平行的性质定理，与过点的直线（两平面的交线）平行，由此可得是中点满足题意，由线面平行的判定定理证明即可．

【详解】解：当D为AC中点时，平面．

理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面．

【例3】（21-22高一下·山东淄博·期中）如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．

??

(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；

(2)假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．

【答案】(1)存在，

(2)

【分析】（1）假设存在一点N，使直线平面PBC，连接并延长，交于E，连接．可得，，再由，可得，假设成立，并且此时.

（2）由（1）得，然后利用余弦定理求得，又因，即可求得的长.

【详解】（1）存在，；理由如下：

假设存在，连接并延长，交于E，连接．

??

因为平面，平面，

平面，

所以，

则，

因为正方形中，，所以，

假设成立.

则此时.

（2）由（1）得，所以；

中，，

所以

所以；

因为，所以，

所以．

【变式1-1】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.

求证：平面；

【答案】证明见解析

【分析】连接交于，连接，利用中位线先证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明.

【详解】连接交于，连接，

因为四边形是正方形，所以是的中点，

又因为为的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

【变式1-2】.（2022高三·全国·专题练习）如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由

【答案】点P是的中点，理由见解析．

【分析】先确定点P是的中点，取的中点O，连接、、，证明四边形是平行四边形，可得，即可得证.

【详解】解：当点P是的中点时，平面．

理由如下：如下图，取的中点O，连接、、，则且，

因为平面，平面，所以．

又，所以且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面.

所以当点P是的中点时，平面．

【变式1-3】.（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.

【答案】

【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解.

【详解】如图，连接，交于点，连接，

为的中点，且平面平面，

平面，平面，

，

为的中点，即实数的值为．

【考点题型二】平面与平面平行

③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行

注意说明两条相交直线都与另一平面平行，现在教材不谈两个平面内分别有两条相交直线对应平行。

【例1】（20-21高一下·湖南张家界·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.

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