2.10导数的应用公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

要点梳理

1.函数的单调性

对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)0，那么

f(x)为该区间上的______；如果在某区间上f′(x)

0,那么f(x)为该区间上的_______.;2.函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的办法

普通地,当函数f(x)在点x0处持续时,

①如果在x0附近的左侧________,右侧________,那

么f(x0)是极大值.

②如果在x0附近的左侧________,右侧________,那

么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的环节

①求f′(x);

②求方程________的根;

③检查f′(x)在方程_________的根左右值的符号.

如果左正右负,那么f(x)在这个根处获得______;如

果左负右正,那么f(x)在这个根处获得_______.;3.函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上持续的函数f(x)在[a,b]上必

有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则____为函数

的最小值，_____为函数的最大值；若函数f(x)在

[a,b]上单调递减,则_____为函数的最大值,_____

为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a,b]上持续,在(a,b)内可导，求

f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的环节以下:

①求f(x)在(a,b)内的_____;

②将f(x)的各极值与_________比较,其中最大的一

个是最大值,最小的一种是最小值.;基础自测

1.函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为______.

解析f′(x)=(x3-3x2+1)′=3x2-6x,

∵当f′(x)0,f(x)单调递减,

∴3x2-6x0,即0x2.

故单调递减区间为(0,2).;2.函数y=1+3x-x3的极大值、极小值分别为_______.

解析由y=1+3x-x3,

得y′=-3x2+3,

令y′=0,即-3x2+3=0.

得x=±1.

∵当x-1时,y′0;

当-1x1时,y′0;

当x1时,y′0.

∴当x=1时,有y极大值=1+3-1=3;

当x=-1时,有y极小值=1-3+1=-1.;3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是___.

解析f′(x)=3x2-6x,令f(x)=0,得x=0,x=2(舍去).

比较f(-1),f(0),f(1)的大小知f(x)max=f(0)=2.

4.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范

围是_______.

解析y′=3ax2-1,

∵函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,

∴3ax2-1≤0在R上恒成立,即ax2≤恒成立,

∴a≤0.;

【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值

范畴;

(2)与否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？

若存在,求出a的??值范畴;若不存在,阐明理由;

(3)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的

上方.

(1)求f′(x)转化成恒成立问题;(2)假设存

在a,求出a值进行检查.;(1)解由已知f′(x)=3x2-a,

∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,

∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,

即a≤3x2对x∈R恒成立.

∵3x2≥0,

∴只需a≤0,

又a=0时,f′(x)=3x2≥0,

即f(x)=x3-1在R上是增函数,

∴a≤0.;(2)解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,

得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.

∵-1x1,

∴3x23,∴只需a≥3.

当a=3时,f′(x)=3(x2-1),

在x∈(-1,1)上,f′(x)0,

即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.

故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.

(3)证明∵f(-1)=a-2a,

∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.;跟踪练习1已知函数f(x)=x3+ax(a∈R)，求函数

f(x)的单调区间.

解由已知f′(x)=x2+a,

当a≥0时,f′(x)=x2+a≥0,

则f(x)在(-∞,+∞)上递增;

当a0时,由f′(x)=x2+a0,

因此f(x)的递增区间是

递减区间是;【例2】已知函数f(x)=x3+ax