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大学物理
振动
1
目录
•复数
•简谐运动的描述
•简谐运动的动力学
•简谐运动的能量
•阻尼振动、受迫振动、共振
•简谐运动的合成
•谐振分析
2
预备知识：复数
4
虚数的意义
中学老师说，虚数就是-1的平方根。
可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
一、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的
点：+1和-1。
这根数轴的正向部
分，可以绕原点旋转。
显然，逆时针旋转180
度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
+1逆时针旋转90°逆时针旋转°=-
901
如果把+1消去，这个式子就变为：
2
（逆时针旋转90°）=-1
2
i=-1
虚数i就是逆时针旋转90°，i不是一个数，
而是一个旋转量。
复数的定义
i
既然i表示旋转量，我们就可以
用i，表示任何实数的旋转状态。45°
-11
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了
一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，
必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如(1,i)，就可以
确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示
方法，表示这个二维坐标：
用+号把横坐标和纵坐标连
接起来。
比如，把(1,i)表示成1+i。这种表示方法就
叫做复数（complexnumber），其中1称为实数
部，i称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢？
复数的作用
加法
复数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，需要计算“力的合成”。
假定一个力是3+i，另一个力是1+3i，请问
它们的合成力是多少？
根据“平行四边形法则”，
合成力就是：
(3+i)+(1+3i)=(4+4i)。
这就是复数加法的物理意义。
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复数的作用
乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便
比如，一条船的航向是3+4i。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？
45度的航向就是1+i。计算新航向，
只要把这两个航向：
3+4
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