第14讲 相似三角形中的“一线三等角”模型-【多题一解一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）（原卷版）.docxVIP

第14讲相似三角形中的“一线三等角”模型

【应对方法与策略】

(1)“三垂直”模型

如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

(2)“一线三等角”模型

如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

【多题一解】

一、解答题

1．（2022秋·四川内江·九年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）（1）问题

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．

（2）探究

若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

（3）应用

如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．

2．（2022·四川成都·模拟预测）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．

(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；

(2)连接EF，求∠FEC的正切值；

(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．

3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．

(1)求证：△AEF∽△DCE；

(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

4．（2022·山东济南·模拟预测）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．

（1）求证：；

（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．

5．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：

第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；

第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；

第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；

(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；

(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

②当时，连接DG，请直接写出___；

(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．

6．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．

(1)如图1，求点D的坐标；

(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；

(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．

7．（2021·山东滨州·统考中考真题）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．

（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；

（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；

（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；

（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

8．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．

（1）如图1，若，求的值；

（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．

9．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE

（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___；

（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

（3）[应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段