第四讲 二次函数（典例精讲）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学典型例题系列之

函数篇

第四讲二次函数（解析版）

一、二次函数的定义。

一般地，形如（QUOTEa，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。

注意：二次项系数，而QUOTEb，c可以为零。

二、二次函数四种基本形式的图像性质。

二次函数的基本表现形式：

①；②；③；④；⑤.

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

第一种：二次函数的性质（最基础）。

第二种：二次函数的性质。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

第三种：二次函数的性质。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值。

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

第四种：二次函数的性质

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

三、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像和性质。

函数

二次函数（a、b、c为常数，a≠0）

图象

开口方向

向上

向下

对称轴

直线

直线

顶点坐标

增减性

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减

最大(小)值

抛物线有最低点，当时，y有最小值，

抛物线有最高点，当时，y有最大值，

四、二次函数的平移。

步骤：

（1）先将函数化成y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h,k）；

（2）从函数y=ax2平移方法如下：“左加右减，上加下减”。

平移前

平移方向（m＞0)

平移后

口诀

y=a(x-h)2+k

向左平移m个单位

“左加右减”

“上加下减”

向右平移m个单位

向上平移m个单位

向下平移m个单位

五、二次函数图像与系数a、b、c的关系。

1.根据a、b、c的正负数判断二次函数图像。

二次项系数a

决定抛物线的开口方向及开口大小

当时，抛物线开口向上

当时，抛物线开口向下

一次项系数b

决定对称轴的位置

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。（同左异右b为对称轴为y轴）

常数项系数c

决定抛物线与y轴的交点的位置

当时，抛物线与轴的交点在轴上方

当时，抛物线与轴的交点为坐标原点

当时，抛物线与轴的交点在轴下方

b2-4ac

决定抛物线与x轴的交点个数

b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；

b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；

2.根据二次函数图像判断a、b、c关系式与0的关系。

关系式

实质

2a+b

实质式结合a的正负比较与1关系

2a+b

实质式结合a的正负比较与-1关系

a+b+c

实质是令x=1，看纵坐标正负

a-b+c

实质是令x=-1，看纵坐标正负

4a+2b+c

实质是令x=2，看纵坐标正负

4a-2b+c

实质是令x=-2，看纵坐标正负

六、二次函数与一元二次方程的关系。

二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况，图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根。

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点。

A：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

B：当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有

七、待定系数法求二次函数的解析式。

根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路：

=1\*GB3①一般式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为y=ax2+bx+c；

=2\*GB3②顶点式：当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值时，可设函数解析式为

y=a(x?h)2+k；

=3\*GB3③交点式：当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为y=ax?x1(x?

【考点一】二次函数的图像和性质。

【典型例题1】

（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（????）

A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是

C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大

【答案】D

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．

【详解】