2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章　必刷大题6　导数的综合问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第三章

必刷大题6导数的综合问题

32

1.已知函数f(x)＝ax＋bx＋6x＋c，当x＝－1时，f(x)的极小值为－，当x

＝2时，f(x)有极大值.

(1)求函数f(x)的解析式；

12345

2

f′(x)＝3ax＋2bx＋6，

由f′(－1)＝f′(2)＝0，

得3a－2b＋6＝0且12a＋4b＋6＝0，

经检验满足题意，

12345

2

(2)存在x∈[－2,0]，使得f(x)t－2t成立，求实数t的取值范围.

00

12345

2

存在x∈[－2,0]，使得f(x)t－2t成立，

00

2

等价于f(x)maxt－2t，x∈[－2,0]，

2

∵f′(x)＝－3x＋3x＋6＝－3(x－2)(x＋1)，

当x∈[－2，－1)时，f′(x)0；

当x∈(－1,0]时，f′(x)0，

∴f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,0]上单调递增，

又f(－2)＝3，f(0)＝1，

∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－2)＝3，

2

∴t－2t3，解得－1t3，∴t的取值范围是(－1,3).

12345

x

2.(2023·商洛统考)已知函数f(x)＝e－4sinx，其中e为自然对数的底数.

(1)求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；

x

因为f(x)＝e－4sinx，

x

所以f′(x)＝e－4cosx，

则f(0)＝1，f′(0)＝－3，

故所求切线方程为y－1＝－3(x－0)，即3x＋y－1＝0.

12345

(2)证明：f(x)在[0，＋∞)上有两个零点.

12345

x

设g(x)＝f′(x)＝e－4cosx，

x

则g′(x)＝e＋4sinx.

显然当x∈[0，π]时，g′(x)0，

π

当x∈[π，＋∞)时，g′(x)e－40，

所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，



3

e

则当x∈[0，x)时，f′(x)0，当x∈(x，＋∞)时，f′(x)0.

00

12345

故f(x)在(0，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增.

00



4