2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章　§3.6　利用导数证明不等式.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第三章

§3.6利用导数证明不等式

课标要求

导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函

数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解

题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，

灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.

题型一将不等式转化为函数的最值问题

x

例1(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(e＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负]

(2)证明：当a0时，f(x)2lna＋.

x

[方法二关键点：利用不等式e≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数]

[思路分析]

(1)求f′(x)→分a0，a≤0判断f′(x)的符号→f(x)的单调性

答题模板规范答题不丢分

x

(1)解因为f(x)＝a(e＋a)－x，定义域为R，

x

所以f′(x)＝ae－1，(1分)

xx

当a≤0时，由于e0，则ae≤0，故①处判断f′(x)的符号

x

f′(x)＝ae－10恒成立，

所以f(x)是减函数；(2分)

x

当a0时，令f′(x)＝ae－1＝0，解得x＝－lna，

当x－lna时，f′(x)0，

则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减；(4分)②处判断f′(x)的符号

当x－lna时，f′(x)0，

则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增.

综上，当a≤0时，f(x)是减函数；

当a0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

在(－lna，＋∞)上单调递增.(5分)

(2)证明方法一由(1)得，当a0时，

f(x)＝f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna③处利用单调性求

min(7分)

2f(x)min

＝1＋a＋lna，

(9分)④处构造函数g(a)＝

f(x)－

min

⑤处求g(a)并判断其符号

min

则g(a)0恒成立，

xx

方法二令h(x)＝e－x－1，⑥处构造函数证明e≥x＋1

xx

则h′(x)＝e－1，由于y＝e是增函数，

x

所以h′(x)＝e－1是增函数，

0

又h′(0)＝e－1＝0，所以当x0时，h′(x)0；

当x0时，h′(x)0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，

在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥