2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章　§3.4　函数中的构造问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第三章

§3.4函数中的构造问题

重点解读

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题

出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不

等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒

成立等问题.

题型一利用f(x)与x构造函数

例1(2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，xf′(x)

－f(x)0，且f(－2)＝0，则不等式0的解集是

A.(－2,0)∪(0,2)

B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C.(－2,0)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(0,2)

√

因为f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(－x)＝f(x).

所以g(x)为奇函数，

所以g(－2)＝－g(2).

因为f(－2)＝0，

所以g(－2)＝g(2)＝0.

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，

所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，

思维升华

n

(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xf(x).

跟踪训练1(多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，

当x0时，xf′(x)＋2f(x)0恒成立，则

A.f(1)4f(2)B.f(－1)4f(－2)

√

C.16f(4)9f(3)D.4f(－2)9f(－3)

√

2

令g(x)＝xf(x)，

∵当x0时，xf′(x)＋2f(x)0，

2

∴当x0时，g′(x)＝2xf(x)＋xf′(x)＝

x[xf′(x)＋2f(x)]0，

2

∴g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增.

2

又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x为定义在R上的偶函数，

2

∴g(x)＝xf(x)为定义在R上的奇函数.

∴g(x)是增函数.

由g(2)g(1)，可得4f(2)f(1)，故A正确；

由g(－1)g(－2)，可得f(－1)4f(－2)，故B错误；

由g(4)g(3)，可得16f(4)9f(3)，故C错误；

由g(－2)g(－3)，可得4f(－2)9f(－3)，故D正确.

x

题型二利用f(x)与e构造函数

例2(2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f′(x)－2，则

A.f(2023)－ef(2022)2(e－1)

B.f(2023)－ef(2022)2(e－1)

√

C.f(2023)－ef(2022)2(e＋1)

D.f(2023)－ef(2022)2(e＋1)

因此函数g(x)是增函数，

整理得f(2023)－ef(2022)2(e－1)，故B正确.

思维升华

nx

(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝ef(x).

跟踪训练2(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)0，

3－x(3，＋∞)

且有f(3)＝3，则f(x)3e的解集为___________.

xxxx

设F(x)＝f(x)·e