物理竞赛中数学知识.docx

物理竞赛中的数学学问

一、重要函数

1．指数函数

2．三角函数

3．反三角函数

反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

二、数列、极限

1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项〔通常也叫做首项〕，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。

数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，a〔n+1〕，…

简记为｛an｝，

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2．等差数列：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和

等比数列：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。通项公式an=a1q(n-1)，前n项和

全部项和

3．求和符号

4．数列的极限：

设数列,当项数无限增大时,假设通项无限接近某个常数,则称数列收敛于A,或称A为数列的极限,记作

否则称数列发散或不存在.

三、函数的极限：在自变量x的某变更过程中，对应的函数值f(x)无限接近于常数A，则称常数A是函数f(x)当自变量x在该变更过程中的极限。

设f(x)在xa(a0)有定义,对随意?0,总存在X0,当xX时，恒有|f(x)?A|?，则称常数A是函数f(x)当x?+?时的极限。记为f(x)=A，或f(x)?A(x?+?)。

运算法则

[f(x)?g(x)]=f(x)?g(x)

[f(x)?g(x)]=f(x)?g(x)

，其中g(x)?0.

四、无穷小量与无穷大量

1．假设，则称是时的无穷小量。

〔假设则称是时的无穷大量〕。

或：假设?(x)=0,则称?(x)当x?x0时为无穷小。

在自变量某变更过程中，|f(x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变更过程中为无穷大。记为

2．无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。

3．无穷小量的运算性质

〔i〕有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。

〔ii〕无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。

〔iii〕有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。

4．无穷小的比较

定义：设?(x)=0，?(x)=0，

1)假设=0，则称当x?x0时?(x)是比?(x)高阶无穷小。

2)假设=?，则称当x?x0时?(x)是比?(x)低阶无穷小。

3)假设=C(C?0)，则称当x?x0时?(x)与?(x)是同阶无穷小，

4)假设=1,则称当x?x0时?(x)与?(x)是等价无穷小。

5．常用的等价无穷小为：

当x?0时：sinx?x，tanx?x，arcsinx?x，arctanx?x，1?cosx?，?。

等价无穷小可代换

五、二项式定理

1．阶乘：n!=1×2×3×……×n

2．组合数：从m个不同元素中取出n〔n≤m〕个元素的全部组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数

3．二项式定理

即

六、常用三角函数公式

sin〔π＋α〕＝－sinαcos〔π＋α〕＝－cosαtan〔π＋α〕＝tanα

sin〔π/2＋α〕＝cosαcos〔π/2＋α〕＝—sinαtan〔π/2＋α〕＝－cotα

和差化积公式

积化和差公式

万能公式

典型物理问题

数列极限等应用

1．蚂蚁分开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的间隔成反比，当蚂蚁爬到距巢中心间隔L1=1m的A点处时，速度是V1=2cm/s。试问蚂蚁接着由A点到距巢中心L2=2m的B点须要多长时间？

2．

常见近似处理

1．人在岸上以v0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？

2．如下图，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触，法线n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)

3．三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C动身，速率都是v，运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？

4．如下图，半径为R2的匀质圆柱体置于程度放置的、半径为R1的圆柱上，母线相互垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与R2应满意什么条件

5.