2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章　§2.12　函数与方程的综合应用.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第二章

§2.12函数与方程的综合应用

重点解读

函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客

观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零

点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压

轴题位置.

题型一由零点分布求值(范围)

命题点1二次函数的零点分布

2

例1(1)(2023·扬州模拟)已知方程x＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，

则实数m的取值范围是

A.(－5，－4]∪[4，＋∞)

B.(－5，－4]

√

C.(－5，＋∞)

D.[－4，－2)∪[4，＋∞)

22

方程x＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x＋(m

－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，

根据图象得，方程的判别式Δ≥0；f(2)0；

2

(2)(2023·苏州模拟)若函数f(x)＝(m－2)x＋mx＋2m＋1的两个零点分别在

区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是

√

命题点2其他函数的零点分布

例2已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)

＝－logx，若函数F(x)＝f(x)－sinπx在区间[－1，m]上有10个零点，则m

2

的取值范围是

A.[3.5,4)B.(3.5,4]

√

C.(5,5.5]D.[5,5.5)

由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2

的奇函数，

当x∈(0,1]时，f(x)＝－logx，

2

求F(x)＝f(x)－sinπx的零点个数，

即求f(x)与g(x)图象的交点个数，

如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象，

因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，

因此交点也呈周期出现，

若在区间[－1，m]上有10个零点，

则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点

坐标为(4,0)，

因此3.5≤m4.

思维升华

对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手

(1)开口方向；

(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；

(4)区间端点值.

2

跟踪训练1(1)设a为实数，若方程x－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个

不相等的实数解，则a的取值范围是

√

2

令g(x)＝x－2ax＋a，

2

由方程x－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得

A.0k1B.x＋x＝－1

√12

24

C.exeD.0xxxxe

√3√1234

画出函数f(x)与函数y＝k的图象如图所示，

f(x)在(－∞，－1]上单调递减，值域为[0，＋∞)；

在[－1,0)上单调递增，值域为[0,1)