数学本章整合：第三章数系的扩充与复数.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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本章整合

知识网络

专题探究

专题一复数的概念及几何意义

复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁是设z＝x＋yi（x，y∈R），依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关,这时将已知根代入（或设出后代入），利用复数相等的充要条件再进行求解．

复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题．

【例1】设复数z＝（1＋i）m2－(2＋4i）m－3＋3i.试求当实数m取何值时:

（1）z是实数；(2）z是纯虚数；(3）z对应的点在直线x＋y＝0上；（4)｜z|＝0;（5)eq\x\to(z)＝－3＋i。

解：z＝(1＋i）m2－(2＋4i)m－3＋3i＝（m2－2m－3）＋(m2－4m＋3

①因为z是实数，所以m2－4m

解得m＝1或m＝3.

②因为z是纯虚数,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，,m2－4m＋3≠0，)）

解得m＝－1;

③由于z对应的点在直线x＋y＝0上，

所以(m2－2m－3）＋(m2－4m＋3

解得m＝0或m＝3.

④因为｜z|＝0,所以z＝0，因此eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－2m－3＝0，,m2－4m＋3＝0。））

解得m＝3.

⑤因为eq\x\to（z）＝－3＋i,所以z＝－3－i，因此eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m2－2m－3＝－3，,m2－4m＋3＝－1.))解得m＝2。

【例2】若△ABC中，A，B两顶点对应的复数分别为1＋i与3－i，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，求C点对应的复数．

解：设C点对应的复数为z＝x＋yi（x，y∈R）．由于△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以｜eq\o（AC,\s\up6(→））｜＝｜eq\o（BC,\s\up6(→)）｜，eq\o（AC，\s\up6(→))⊥eq\o(BC，\s\up6（→))，

因此有

eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\r(?x－1?2＋?y－1?2）＝\r（?x－3?2＋?y＋1?2），,?x－1??x－3?＋?y－1??y＋1?＝0，））

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1,，y＝－1)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3,,y＝1。)）

即C点对应的复数是1－i或3＋i.

专题二复数的运算

历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则,熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．

复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．

要熟练掌握除法运算的“分母实数化”法则，将除法运算转化为乘法运算进行．

【例3】计算：（1）eq\f(?2＋2i?4，?1－\r(3)i?5）;

（2）eq\f（－2\r（3）＋i,1＋2\r（3)i）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r（2），1－i）))2014.

解：(1)eq\f（?2＋2i?4，?1－\r（3)i?5)＝eq\f(24?1＋i?4,?－2?5\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2）＋\f(\r（3），2)i))5)＝－eq\f(24?2i?2，25\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)＋\f（\r(3）,2）i））2）＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)＋\f（\r（3)，2)i）)＝－1＋eq\r（3)i。

(2）eq\f(－2\r（3)＋i，1＋2\r（3）i)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2),1－i)）)2014＝eq\f（?－2\r(3)＋i?i,?1＋2\r（3）i?i）＋eq\f（21007，?－2i?1007）＝eq\f（?－2\r（3)＋i?i，i－2\r（3)）－eq\f（1，i1007）＝i－eq\f(1，－i)＝i－i＝0.

【例4】已知复数z1＝eq\f（15－5i,?2＋i?2）,z2＝a－3i(a∈R)．

（1)若a＝2，求z1·eq\x\to(z2）;

(2)若z＝eq\f(z1，z2）是纯虚数，求a的值．

解：由于z1