数学本章整合学案：第三章统计案例.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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本章整合

知识建构

综合应用

专题一确定回归直线方程的策略

准确确定回归直线方程,有利于进一步加强数学应用意识,培养运用所学知识解决实际问题的能力,正确地求出回归直线方程是本节的重点,现介绍求回归直线方程的三种方法。

一、利用回归直线过定点确定回归直线方程

回归直线方程y=a+bx经过样本的中心（x,y)点,(x,y)称为样本点的中心，回归直线一定过此点.

【例1】观察两个相关变量的如下数据：

x

—1

-2

—3

-4

—5

5

4

3

2

1

y

-0.9

-2

—3.1

-3.9

—5。1

5

4.1

2。9

2。1

0.9

则两个变量间的回归直线为（)

A.y=0.5x-1B.y=xC。y=2x+0。3D。y=x+1

答案：B

二、利用公式求a,b，确定回归直线方程

利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：

①求b时利用公式b=,先求出=（x1+x2+x3+…+xn），=(y1+y2+

y3+…+yn）。

再由a=-b求a的值，并写出回归直线方程.

②线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来,存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差。

③回归直线方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量，而a表示y不随x的变化而变化的量。

④可以利用回归直线方程y=a+bx预报在x取某一个值时y的估计值。

【例2】某5名学生的数学和化学成绩如下表：

学科

学生

A

B

C

D

E

数学成绩（x）

88

76

73

66

63

化学成绩（y）

78

65

71

64

61

（1）画出散点图；

（2）求化学成绩y对数学成绩x的回归直线方程。

解:（1）散点图略。

（2）=×（88+76+73+66+63）=73。2,=×(78+65+71+64+61)=67.8。

所以b=≈0。625。

a=-b=67.8—0。625×73。2=22.05。

所以y对x的回归直线方程为

y=0.625x+22。05。

三、先判定相关性，再求回归直线方程

利用样本相关系数r来判断两个变量之间是否有线性相关关系时,可以依据若｜r|＞0.75，我们认为有很强的线性相关关系，可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预报变量的取值；若|r|＜0.75,则认为两个变量之间的线性相关关系并不强，这时求回归直线方程没有太大的实际价值。

【例3】10名同学在高一和高二的数学成绩如下表:

x

74

71

72

68

76

73

67

70

65

74

y

76

75

71

70

76

79

65

77

62

72

其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.

(1）y与x是否具有相关关系；

（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.

解：(1)由已知表格中的数据，求得

=71,=72.3,

r=≈0。78。

由于0.78＞0.75,所以y与x之间具有很强的线性相关关系。

（2)y与x具有线性相关关系,设回归直线方程为：

y=a+bx,则有

b==1.22，

a=-b=72.3-1.22×71=-14.32。

所以y关于x的回归直线方程为y=1。22x-14。32。

专题二可线性化的回归分析

一、曲线线性化的意义

曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的线性回归方程，在实际工作中常利用该线性回归方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对曲线的拟合。

二、常用的非线性函数

(一）指数函数y=aebx（1)

对(1）式的两边取对数，得lny=lna+bx

当b＞0时,y随着x的增大而增大;当b＜0时，y随着x的增大而减小.

当以lny和x绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用指数函数来描述y与x间的非线性关系，lna和b分别为截距与斜率。

更一般的指数函数是y=aebx+k，式中的k为一常量,往往未知，应用时可试用不同的值.

(二）对数函数y=a+blnx(x＞0）

当b＞0时，y随着x的增大而增大，先快后慢；当b＜0时，y随着x的增大而减小,先快后慢，当以y和lnx绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述y与x间的非线性关系，式中a和b分别为截距与斜率.

更一般的对数函数是y=a+bln（x+k)，式中的k为一常量,往往未知。

（三)幂函数y=axb（a＞0，x＞0）（2)

当b＞0时，y随着x的增大而增大；b＜0时，y随着x的增大而减小。

对（2)式的两边取对数，得lny=lna+blnx，

当以