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复变函数论理论教学大纲

（FunctionsofComplexVariable）

课程代码：0712402

总学时：68学时

先修课程：《数学分析》

一、课程的性质、目的与任务

课程的性质：专业必修课。

课程的目的与任务：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变

函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识；使学生逐步提高

数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提

高；同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生

活息息相关的数学应用知识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的

作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，

从而提高做好中学数学教育工作的能力。

二、教学基本内容与基本要求

第一章复数与复变函数

1．基本内容

§1复数

§2复平面上的点集

§3复变函数

§4复球面与无穷远点

2．教学基本要求

理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、

无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和

辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的

结构，并联系中学的复数教学。

第二章解析函数

1．基本内容

§1解析函数的概念与柯西-黎曼方程

§2初等解析函数

§3初等多值函数

2．教学基本要求

理解解析函数的定义、性质及其充分必要条件；了解函数在一点解析与函数在一

点可微的区别，熟练掌握利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法；掌握指数函数、三

角函数的定义和性质，注意与实指数函数、实三角函数的区别；了解初等多值函数单

值化方法（限制辐角或割破平面）；熟练掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值；

理解反三角函数、一般幂函数、一般指数函数的定义与计算。

第三章复变函数的积分

1．基本内容

§1复积分的概念及其简单性质

§2柯西积分定理

§3柯西积分公式及其推论

§4解析函数与调和函数的关系

2．教学基本要求

理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；理解柯西积分定理，熟练掌

握利用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分；理解柯西积分定理的推广；理解柯西

积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭

曲线的积分；了解解析函数的无穷可微性；了解柯西不等式与刘维尔定理，掌握其证

明方法；掌握利用摩勒拉定理判断解析函数的方法；熟练掌握已知解析函数的实部（或

虚部），求该解析函数的方法。

第四章解析函数的幂级数表示法

1．基本内容

§1复级数的基本性质

§2幂级数

§3解析函数的泰勒展式

§4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

2．教学基本要求

了解复级数的基本概念；掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛

的定义及判别方法；理解解析函数项级数的和函数的性质；理解幂级数的敛散性；理

解收敛圆、收敛半径的概念；了解幂级数和的解析性；理解解析函数的幂级数表示；

熟练掌握一些初等函数的泰勒展式；了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在

性；理解解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理。

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点

1．基本内容

§1解析函数的洛朗展式

§2解析函数的孤立奇点

§3解析函数在无穷远点的性质

§4整函数与亚纯函数的概念

2．教学基本要求

了解双边幂级数的有关概念；了解洛朗定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆

环和孤立奇点去心邻域内展成洛朗级数的方法；了解洛朗级数与泰勒级数的关系；理

解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法；了解解析函数在孤立奇点去心邻

域内的性质；掌握解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。