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专题06随机变量及其分布小题综合
冲刺秘籍
冲刺秘籍
离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
数学期望
数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3)若服从几何分布,且，则.
方差
标准差=.
方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3)若服从几何分布,且，则.
方差与期望的关系
.
正态分布密度函数
，式中的实数μ，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于，取值小于x的概率
.
.
冲刺训练
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）随机变量X服从正态分布，若，则（????）
A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36
【答案】A
【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．
【详解】∵随机变量服从正态分布，
∴正态曲线的对称轴是，
∵，
∴.
故选：A.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布，若，则（????）
A．0.12 B．0.24 C．0.26 D．0.48
【答案】C
【分析】运用正态分布的对称性求解即可.
【详解】由正态分布可知，，，
所以．
故选：C.
3．（2023·广东·统考模拟预测）研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（???）
参考数据：若，则，，.
A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.
【详解】依题意，，
所以
.
故选：D.
4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时和骑自行车用时都近似服从正态分布.绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车（????）
A．有26min可用 B．有30min可用
C．有34min可用 D．有38min可用
【答案】D
【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案.
【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
根据和的分布密度曲线图可知，，，，.
所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车.
故选：D.
5．（2023·河北·统考模拟预测）山东烟台某地种植的苹果按果径（单位：）的大小分级，其中的苹果为特级，且该地种植的苹果果径．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（????）（参考数据：，．，）
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
【答案】C
【分析】先根据原则求出的概率，再乘以即可得解.
【详解】由，得，
，
，
所以，
所以特级苹果的个数约为个.
故选：C.
6．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设，则随机变量的分布列是
0
1
则当在内减小时，（????）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【分析】根据期望公式求得随机变量的期望，之后利用方差公式求得随机变量的方差，根据二次函数的性质求得结果.
【详解】根据题意可得，，
所以在单调递减，在单调递增，所以先减小后增大.
故选：C.
7．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正态分布密度函数的性质求解.
【详解】由题设可知，服从均值为，标准差的正态分布，服从均值为，标准差的正态分布.
事件“”的概率仅与正数有关，且越大，该事件的概率越大，因此：
和分别等价于和，故后者的概率更大，A正确，B错误；
和分别等价于和，两者概率相同，C错误，D错误；
故选：A.
8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若，则当，1，2，…，100时（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.
【详解】解：由题意得：
即，
化简得：，
又k为整数,可得,所以，
故选：C．
9．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知随机变量，且，则的最大值为（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为随机变量，且，
所以，即，所以，
所以
令，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为.
故选：D.
10．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100
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