专题08 球体综合问题小题综合(解析版)_1.docxVIP

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专题08球体综合问题小题综合

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立体几何基础公式

所有椎体体积公式:

所有柱体体积公式:

球体体积公式:

球体表面积公式:

圆柱:

圆锥:

长方体(正方体、正四棱柱)的体对角线的公式

已知长宽高求体对角线:

已知共点三面对角线求体对角线:

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

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一、单选题

1.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径,则球与圆锥的表面积之比为(????)

A.8 B. C. D.

【答案】B

【分析】根据球与圆锥的表面积计算公式,建立方程,可得答案.

【详解】设圆锥的母线长为,底面圆的半径为,球的半径为,则,即,,

球的表面积,圆锥的表面积,

则.

故选:B.

2.(2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模)一个圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为2,以该圆台的上底面为底面,挖去一个半球,则剩余部分几何体的体积为(????)

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】由题意得到圆台和半球的体积,即可求解.

【详解】,,

剩余部分几何体的体积为.

故选:C

3.(2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测)在三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的表面积为(????)

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】先利用余弦定理求出,再利用正弦定理求出外接圆的半径,设三棱锥外接球的半径为,再根据结合球的表面积公式即可得解.

【详解】在中,,

则,

所以,

设外接圆的半径为,则,所以,

设外接圆的圆心为,三棱锥外接球的球心为,半径为,

由平面,得,

所以三棱锥外接球的表面积为.

故选:A.

4.(2023·广东·校联考模拟预测)已知四棱锥平面,二面角的大小为.若点均在球的表面上,则该球的表面积为(????)

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】先利用点均在球的表面上可得四点共圆,先证明平面,得出二面角的平面角为,可计算出,再利用勾股定理可得出四边形外接圆的直径为,则,最后利用外接球的表面积公式代入即可得出答案.

【详解】因为,所以,

因为点均在球的表面上,

所以四边形内接于圆,所以,所以,

因为平面,平面,所以,

又平面,所以平面,

平面,所以,又,

所以二面角的平面角为,所以,

在中,因为,所以,

由余弦定理可得:,

即,即或(舍去),

所以,所以外接圆的直径为:,

即四边形外接圆的直径为,

因为平面,所以,四棱锥外接球的半径为:

所以四面体外接球的表面积为.

??

故选:B.

5.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2,若圆锥PO在球内,则球的体积的最小值为(????)

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】根据给定条件,可得球的体积最小时,圆锥PO为球的内切圆锥,再求出球半径作答.

【详解】依题意,当球的体积最小时,圆锥PO为球的内切圆锥,因此圆锥PO的轴截面三角形外接圆是球的大圆,

设圆锥PO的轴截面等腰三角形底角为,而腰长为,则,

因此球的半径,所以球的体积的最小值为.

故选:A

6.(2023·黑龙江大庆·统考二模)如图,边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直,,N为AF的中点,,则三棱锥外接球的表面积为(????)

??

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】根据题意得到平面ABEF,进一步得出,,则MC为外接球直径,代入球的表面积公式即可求解.

【详解】由可知,,,可求,,,

因为平面平面ABEF,平面平面,

又,平面,

所以平面ABEF,平面ABEF,所以,

由,,得,

又,同理可得得,又,

所以,所以.

所以MC为外接球直径,

在Rt△MBC中,即,

故外接球表面积为.

故选:A.

7.(2023·辽宁·校联考三模)在三棱锥中,,平面经过的中点,并且与垂直,当截此三棱锥所得的截面面积最大时,此时三棱锥的外接球的表面积为(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】取靠近的四等分点,的中点,截此三棱锥所得的截面为平面,当时截面面积最大,,为,外接圆圆心,球心满足面,面,由求得外接球的半径进而求得球的表面积.

【详解】??

如图所示取靠近的四等分点,的中点,连接,,.

由,可知.同理可知.

又,所以平面,所以平面即为平面.

又易知,

所以截此三棱锥所得的截面面积为,

当时,取得最大值,

设为外接球球心,,为,外接圆圆心,球心满足面,面,

所以四边形为正方形,且,,,

∴.

故选:D.

8.(2023·河北·统考模拟预测)在正四面体中,为的中点,点在以为球心的球上运动,,且恒有,已知三棱锥的体积的最大值为,则正四面体外接球的体积为(????)

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】分析得出在处到平面的距

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