专题08 球体综合问题小题综合（解析版）_1.docxVIP

专题08球体综合问题小题综合

冲刺秘籍

冲刺秘籍

立体几何基础公式

所有椎体体积公式：

所有柱体体积公式：

球体体积公式：

球体表面积公式：

圆柱：

圆锥：

长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式

已知长宽高求体对角线：

已知共点三面对角线求体对角线：

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

冲刺训练

冲刺训练

一、单选题

1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（????）

A．8 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据球与圆锥的表面积计算公式，建立方程，可得答案.

【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，则，即，，

球的表面积，圆锥的表面积，

则.

故选：B.

2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．

【详解】，，

剩余部分几何体的体积为．

故选:C

3．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，再根据结合球的表面积公式即可得解.

【详解】在中，，

则，

所以，

设外接圆的半径为，则，所以，

设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，半径为，

由平面，得，

所以三棱锥外接球的表面积为.

故选：A.

4．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用点均在球的表面上可得四点共圆，先证明平面，得出二面角的平面角为，可计算出，再利用勾股定理可得出四边形外接圆的直径为，则，最后利用外接球的表面积公式代入即可得出答案.

【详解】因为，所以，

因为点均在球的表面上，

所以四边形内接于圆，所以，所以，

因为平面，平面，所以，

又平面，所以平面，

平面，所以，又，

所以二面角的平面角为，所以，

在中，因为，所以，

由余弦定理可得：，

即，即或（舍去），

所以，所以外接圆的直径为：，

即四边形外接圆的直径为，

因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为：

所以四面体外接球的表面积为.

??

故选：B.

5．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，可得球的体积最小时，圆锥PO为球的内切圆锥，再求出球半径作答.

【详解】依题意，当球的体积最小时，圆锥PO为球的内切圆锥，因此圆锥PO的轴截面三角形外接圆是球的大圆，

设圆锥PO的轴截面等腰三角形底角为，而腰长为，则，

因此球的半径，所以球的体积的最小值为.

故选：A

6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解．

【详解】由可知，，，可求，，，

因为平面平面ABEF，平面平面，

又，平面，

所以平面ABEF，平面ABEF，所以，

由，，得，

又，同理可得得，又，

所以，所以.

所以MC为外接球直径，

在Rt△MBC中，即，

故外接球表面积为．

故选：A．

7．（2023·辽宁·校联考三模）在三棱锥中，，平面经过的中点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取靠近的四等分点，的中点，截此三棱锥所得的截面为平面，当时截面面积最大，，为，外接圆圆心，球心满足面，面，由求得外接球的半径进而求得球的表面积.

【详解】??

如图所示取靠近的四等分点，的中点，连接，，.

由，可知.同理可知.

又，所以平面，所以平面即为平面.

又易知，

所以截此三棱锥所得的截面面积为，

当时，取得最大值，

设为外接球球心，，为，外接圆圆心，球心满足面，面，

所以四边形为正方形，且，，，

∴.

故选：D.

8．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体中，为的中点，点在以为球心的球上运动，，且恒有，已知三棱锥的体积的最大值为，则正四面体外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析得出在处到平面的距